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以下都是之前寫的，沒有仔細再看一次，如有錯誤，還請告知。
填充1.
球S_1外接於四面體ABCD，另一個半徑為1的球面S_2與平面ABC相切，並且S_1、S_2內切於D點，已知\overline{AD}=3，\displaystyle cos\angle BAC=\frac{4}{5}，\angle BAD=\angle CAD=45^{\circ}，試問四面體ABCD的體積為 。
[解答]
不高明的方法如下
令 H , H_{1} , H_{2} 分別為 D 對 ABC , \overline{AB} , \overline{AC} 之投影點。可得 \triangle AHH_{1}\cong\triangle AHH_{2} (RHS)。
(紅字修正原筆誤，三垂線定理 \Rightarrow H_1, H_2 處直角)
因此 \overline{AH} 平分 \angle BAC\Rightarrow\cos\angle BAH=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\Rightarrow \overline{AH}=\frac{\cos\angle BAD}{\cos \angle BAH}\overline{AD} =\sqrt{5}\Rightarrow\overline{DH}=2 。
(紅字修正原筆誤 \overline{AH} = .. )
令 Q 為 S_2 的球心， R 為 S_2 和平面 ABC 切點。則 2 = \overline{DQ}+\overline{QR} \geq \overline{DR} \geq \overline{DH} =2 。等號成立條件為 R = H 且 D, Q, H 共線。
(補上三角不等式之論證)
又 D 為兩球之切點，因此 D, Q, S_{1} 之球心亦共線，因此 \overleftrightarrow{DH} 通過 D, Q, H 和 S_1 的球心。
又 \overleftrightarrow{DH} \perp ABC 平面於 H ，故 H 為 \triangle ABC 之外心。
因此 \overleftrightarrow{HH_{1}}
, \overleftrightarrow{HH_{2}} 為 \overline{AB}, \overline{AC} 之中垂線， \Rightarrow \overline{AB} = \overline{AC} = 2\cdot \overline{AD} \cos45^\circ 。
\triangle ABC=\frac{1}{2}\cdot(3\sqrt{2})^{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{27}{5}\Rightarrow V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot\frac{27}{5}\cdot2=\frac{18}{5} 。
填充2.
已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，\triangle ABC三個頂點都在拋物線上，且\triangle ABC的重心為拋物線的焦點F，若\overline{BC}邊所在的直線為4x+y-20=0，試求拋物線的方程式為 。
[解答]
設所求方程式為 y^{2}=4cx ，則 F(c,0) 。與直線方程式聯立可得
4x^{2}-(40+c)x+100=0\Rightarrow x_{1}+x_{2}=\frac{40+c}{4}\Rightarrow y_{1}+y_{2}=-c 。
由重心可得三頂點之坐標和 \begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3} & =3c\\
y_{1}+y_{2}+y_{3} & =0
\end{cases}\Rightarrow x_{3}=\frac{11}{4}c-10
, y_{3}=c\Rightarrow c^{2}=11c^{2}-40c\Rightarrow c=4 或 0 (不合)。
故所求 y^{2}=16x 。
填充 7.
已知\cases{tan\alpha+log_3(3tna\alpha+6)=2\cr tan\beta+3^{tna\beta-1}=4}，求tan\alpha+tan\beta= 。
[解答]
這題很常見，只是要稍微平移一下
令 x=\tan\alpha+2 ，則 x+\log_{3}x=3\Rightarrow3-x=\log_{3}x ；
令 y=\tan\beta-1 ，則 y+1+3^{y}=4\Rightarrow3^{y}=3-y 。
由反函數圖形之對稱性得 x+y=3\Rightarrow\tan\alpha+\tan\beta=2 。
填充 8.
將268個數放在一個圓周上，任意連續的20個數字之和都等於75，且放在第17號位置的數為3，第83號位置的數為4，第144號位置的數為9，則第210號位置的數為 。
[解答]
連續 21 個數，頭尾必相等，因此間隔為 \{20m+268n\mid m,\, n\in\mathbb{Z}\} 之數必相等。而 \gcd(268,20)=4\Rightarrow\{20m+268n\mid m,\, n\in\mathbb{Z}\}=4\mathbb{Z} 。
17\equiv1 (mod 4), 210\equiv2 (mod 4 ), 83\equiv3 (mod 4 ), 144\equiv0 (mod 4 ) ，所以 (3+4+9+x)\cdot5=75\Rightarrow x=-1 。
