引用:
原帖由 meifang 於 2012-6-26 03:51 PM 發表
第3題 我算超多遍 外加GeoGebra畫圖 長軸長為2 不知到哪裡出了問題
這是我的計算過程
\(z=\frac{1}{2}(1-x-y)\) 帶入\(x^{2}+y^{2}=z^{2}\) 整理後得到
\(3x^{2}-2xy+3y^{2}+2x+2y-1=0\)
分別對x、y偏微分後=0
\(\left\{\begin{matrix}
3x-y=-1
\\
-x+3y=-1
\end{matrix}\right.\)
中心點為\(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\)
平移後得到
\(3x^{2}-2xy+3y^{2}-2=0\)
再算出\(\begin{bmatrix}
3 & -1
\\
-1 & 3
\end{bmatrix}\)的eigenvalues 為4和2
因為只要問長軸長 所以先不考慮順序 得到旋轉後的橢圓為
\(4x^{2}+2y^{2}-2=0\)
所以長軸長為2
可以幫我看看有哪裡算錯了嗎? 謝謝
\( z=\frac{1}{2}(1-x-y) \) 代入\( x^{2}+y^{2}=z^{2}\)所得到的\(3x^{2}-2xy+3y^{2}+2x+2y-1=0\)是在xy平面上的橢圓
算出來的長軸長\( \displaystyle \overline{A'B'}=2 \)，所以前面一心老師才會加上兩平面夾角的餘弦值，算出正確的長軸長\( \overline{AB}=\sqrt{6} \)
當初用SketchUp畫圖時還想到一種方法，這在考場應該想不到
平面\( x+y+2z=1 \)交三個座標軸於\( P(1,0,0) \)、\( Q(0,1,0) \)、\( \displaystyle R(0,0,\frac{1}{2}) \)
將全部的圖形沿著z軸旋轉\( 45^o \)，讓\( \overline{OM} \)變成新的y軸，x軸伸出螢幕外
此時M點坐標為\( \displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2},0) \)，R點坐標為\( \displaystyle (0,\frac{1}{2}) \)
利用\( \overline{RM} \)的直線方程式和圓錐交於A、B兩點，進而求出橢圓的長軸長
