填充題 8.
多選題的每題有四個選項,其中至少有一個是正確的。所有選項均答對者得 8 分,恰答錯一個選項者得 4 分,其餘情形皆算 0 分。若小綠此題有作答 (且為隨意亂猜),則她此題得分的期望值為? 答: 344/225
[解答]
易知所有選項均答對機率 = 1/15,以下只考慮恰答錯一個選項的機率 P。
想法一: 用古典機率 (基本上與 12 樓 Tsusy 老師的方法相同)
母群體為: (2⁴-1)² = 225
恰錯一個選項的方法數: 選出"錯的選項"後,每個選項皆有 2 種情形; 再扣掉有"空集合"的情況 = C(4,1)*2⁴ - 2*4 = 56
故 P = 56/225
(ps. 本題若無 "至少有一個選項是正確的" 這個破壞規律的附加條件,則母群體可用 2⁴ = 16)
想法二: 以"選項"為主角思考
分析: 15 個可能的答案組合中,含有某特定選項的有 2³ = 8 個 (某選項的出現率 = 8/15)。在前述 8 個組合中,含或不含另一特定選項者各占其半。例: n(有a) = 8 ,而 n(有a有c) = n(有a無c) = 4。
P =15 個可能的答案組合隨機 (可重複地) 取 2 次,恰有一個選項不一致的機率: 選出 "不一致" 的選項後,其它任一選項 "一致" 的機率皆為 1/2 (依據上文紅字所述)。
故 P = C(4,1)*2*(8/15)*(7/15)*(1/2)³ = 56/225 (藍字部分為"某選項不一致的機率")