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101國立陽明高中

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填充題 3.

題目條件式的 x, y, z 係數皆為完全平方數,或許命題者的本意是欲搭配兩組 (1/6, 1/3, 1/2) 來湊柯西不等式。


基於 f(t) = ∛t 在 t > 0 時為可微的凹函數,這題我另嘗試用 "切線法" 的構想 -- 切點處即最大值產生處。

目標是作出三條切線,其斜率比 = 36 : 9 : 4 (則相加後為定值),即 (令 n = -2/3)

xⁿ : (y+7)ⁿ : (z+26)ⁿ = 36 : 9 : 4

⇒ x : (y+7) : (z+26) = 1/216 : 1/27 : 1/8

又 36x + 9y + 4z = 49

⇒ 序組 (x, y+7, z+26) = (1, 8, 27)

所求最大值 = ∛1 + ∛8 + ∛27 = 6



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