Sorry
請問[填充3]廣義柯西要如何湊數字呢?
還是想不出來如何組合

填充第 3 題
設x、y、z均為正數，且36x+9y+4z=49，求3x+3y+7+3z+26 的最大值為　　　。
[解答]
參考一下
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 518976b9cb6ddfa8c9e

數字組合的想法是來自於[4,9]=36的關係嗎?
謝謝您提供的解法

填充4慢慢數我一下就亂掉了

不知道有沒有可以分開討論的辦法

找到美夢成真 thepiano 的解了

不容易阿...

第七題，只能慢慢討論是嗎？我目前只想到慢慢討論各種情況。

填充第 7 題
下表為某冷飲店的價目表，王老師前往買飲料時正巧遇到「買五送一」活動，即一次帶走六杯，價錢最低的其中一杯免費；若王老師花了 110 元買了六杯飲料(買五送一)，請問這六杯飲枓的口味有　　　不同的選擇。
每杯20元：綠茶、紅茶
每杯25元：芋香奶茶、梅子綠茶、杏仁奶茶、布丁奶茶
每杯30元：珍珠椰果綠茶、珍珠椰果奶茶
[解答]
若送的那杯是 30 元的，那要花 150元
若送的那杯是 25 元的，那最少要花 25 * 5 = 125 元
故送的那杯是 20 元的

30x + 25y + 20z = 110 + 20
6x + 5y + 4z = 26
又 x + y + z = 6 (x，y，z 是非負整數)

由 y 必為 0 或 2 或 4
很快可找到 (x，y，z) = (1，0，5) or (0，2，4)

所求 = 2 * 6 + 10 * 5 = 62

我的做法跟鋼琴老師一樣。

請問填充第三題的廣義柯西該如何配。謝謝

填充第 3 題
thepiano 老師已解 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2868#p8091

引用:

原帖由 cellistlu 於 2013-4-9 20:07 發表
Sorry
請問[填充3]廣義柯西要如何湊數字呢?
還是想不出來如何組合

3.
設x、y、z均為正數，且36x+9y+4z=49，求3x+3y+7+3z+26 的最大值為　　　。
[解答]
根據廣義的柯西不等式a1a2a3b1b2b3c1c2c30都是非負實數
則必(a31+a32+a33)(b31+b32+b33)(c31+c32+c33)(a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3)3
僅當a1:b1:c1=a2:b2:c2=a3:b3:c3=3A:3B:3C 時等號成立
其中a31+a32+a33=A，b31+b32+b33=B，c31+c32+c33=C。
http://www3.cnsh.mlc.edu.tw/~mat ... equality_3-2-2_.pdf

[36x+9(y+7)+4(z+26)]41+42+4391+92+93(3x+3y+7+3z+26)3 
thepiano的係數41+42+4391+92+93 就是從等號成立時的條件找出來的

假設原來係數不知道
  [36x+9(y+7)+4(z+26)](b31+b32+b33)(c31+c32+c33)(3x+3y+7+3z+26)3 
336xb1c1=3x ，得到b1c1=1336…(1)
39(y+7)b2c2=3y+7 ，得到b2c2=139…(2)
34(z+26)b3c3=3z+26 ，得到b3c3=134…(3)

等號成立時
336x:b1:c1=39(y+7):b2:c2=34(z+26):b3:c3=3216:3b31+b32+b32:3c31+c32+c32 …(4)

利用(1)(2)(3)式替換
336x:1336c1:c1=39(y+7):139c2:c2=34(z+26):134c3:c3 

  c1336x:1336c21:1=c239(y+7):139c22:1=c334(z+26):134c23:1

1336c21=139c22=134c23=t2

c1=136t，c2=133t，c3=132t

利用(1)(2)(3)式替換
\displaystyle b_1=\frac{t}{\root 3 \of 6} ， \displaystyle b_2=\frac{t}{\root 3 \of 3} ， \displaystyle b_3=\frac{t}{\root 3 \of 2} ，

代入(4)式
\displaystyle \root 3 \of{36x}:\frac{t}{\root 3 \of 6}:\frac{1}{\root 3 \of 6 t} = \root 3 \of{9(y+7)}:\frac{t}{\root 3 \of 3}:\frac{1}{\root 3 \of 3 t} = \root 3 \of{4(z+26)}:\frac{t}{\root 3 \of 2}:\frac{1}{\root 3 \of 2 t}=\root 3 \of{216}:\root 3 \of{\frac{t^3}{6}+\frac{t^3}{3}+\frac{t^3}{2}}:\root 3 \of{\frac{1}{6t^3}+\frac{1}{3t^3}+\frac{1}{2t^3}}

\displaystyle \root 3 \of{216x}:t:\frac{1}{t}=\root 3 \of{27(y+7)}:t:\frac{1}{t}=\root 3 \of{8(z+26)}:t:\frac{1}{t}=6:t:\frac{1}{t}

\root 3 \of{216x}=6 ，得到x=1
\root 3 \of{27(y+7)}=6 ，得到y=1
\root 3 \of{8(z+26)}=6 ，得到z=1

取 \displaystyle t=\root 3 \of{\frac{3}{2}}
\displaystyle b_1=\root 3 \of{\frac{1}{4}},b_2=\root 3 \of{\frac{2}{4}},b_3=\root 3 \of{\frac{3}{4}} ， \displaystyle c_1=\root 3 \of{\frac{1}{9}},c_2=\root 3 \of{\frac{2}{9}},c_3=\root 3 \of{\frac{3}{9}}
就是thepiano的係數 \displaystyle \left( \frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4} \right)\left( \frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{3}{9} \right)

或者取 t=1
\displaystyle b_1=\root 3 \of{\frac{1}{6}},b_2=\root 3 \of{\frac{1}{3}},b_3=\root 3 \of{\frac{1}{2}} ， \displaystyle c_1=\root 3 \of{\frac{1}{6}},c_2=\root 3 \of{\frac{1}{3}},c_3=\root 3 \of{\frac{1}{2}}
係數就變成 \displaystyle \left( \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \right)\left( \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \right)

但無論t值為多少
\displaystyle [36x+9(y+7)+4(z+26)]\left( \frac{t^3}{6}+\frac{t^3}{3}+\frac{t^3}{2} \right)\left( \frac{1}{6t^3}+\frac{1}{3t^3}+\frac{1}{2t^3} \right) \ge (\root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26})^3

\displaystyle [216](t^3)\left( \frac{1}{t^3} \right) \ge (\root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26})^3

6 \ge \root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26}

最大值都是6