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101新竹女中

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回復 20# man90244 的帖子

題目:\(X^4-2(3a+1)X^2+7a^2+3a=0\) 恰有 \(2\) 相異實根,求實數 \(a\) 的範圍?

思考:

令 \(t=x^2\),則 \(t^2-2(3a+1)t+(7a^2+3a)=0\) 恰有1正根1負根

再來讓你想(善用判別式&根與係數關係式),

想想看要怎樣才能保證 \(t\) 的一元二次方程式才會有一正根一負根。:)

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回復 21# weiye 的帖子

為什麼會剛好一正根一負根阿???????

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回復 22# man90244 的帖子

因為 \(t\) 的每個正根都可以對應到 \(x\) 的兩個互為相反數的實根,

而 \(t\) 的每個負根都可以對應到 \(x\) 的兩個共軛的純虛根。

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回復 23# weiye 的帖子

不好意思
那我可以再問一下
怎麼知道X為兩個互為相反數的實根以及兩個共軛的純虛根
不可能為a+bi嗎???

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因為 \(t=x^2\),

若 \(t>0\),則 \(x=\pm\sqrt{t}\),

若 \(t<0\),則 \(x=\pm\sqrt{(-t)}\,\,i\)。

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回復 25# weiye 的帖子

所以簡單說:
題目可以用t=x^2下去代換
就可以確定X為兩個互為相反數的實根以及兩個共軛的純虛根!!!!!

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回復 26# man90244 的帖子

是的!:)

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回復 27# weiye 的帖子

謝謝學長教導!!!!
我的功力還是太弱!!!!!!!

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回復 27# weiye 的帖子

利用7a^2+3a<0  算出 -3/7<a<0
那7a^2+3a=0也算嗎???

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回復 29# man90244 的帖子

因為你舉例的題目沒有特別說明重根算不算好幾個實根(通常是算啦),

但是為了避免沒有說清楚,我刻意把你的題目加上"相異"兩實根,

這樣就不用考慮 0 了,也避免掉了題目沒有說明清楚重根算不算好幾個實根的問題。

另外,還要檢查判別式喔!這樣才能保證有實根呀!:)

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