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101新竹女中

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8.
x為非零實數,\( \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x} \),若\( x=x_0 \)時,\( f(x) \)有最大值M,則數對\( (x_0,M)= \)?

若x為正數,求\( \displaystyle \frac{\sqrt{x^4+x^2+2x+1}+\sqrt{x^4-2x^3+5x^2-4x+1}}{x} \)的最小值?
(2007國際數學奧林匹克香港選拔賽初賽,http://gifted.hkedcity.net/Gifted/IMO/index.html)

lovestupid所提供的計算題第三題的文字敘述和原試卷相同
另外計算第五題的\( Γ_2:x^2+y^2=4 \)應該更正為\( Γ_2:x^2+y^2=64 \)

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引用:
原帖由 lianger 於 2012-5-15 04:49 PM 發表
第8題想到一個另解︰
考慮\(  x>0  \),
\( f(x)=\sqrt{x^2+32+\frac{4}{x^2}}-\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}} \)
       \(=\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-6)^2}-\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-2)^2} \)
令\( t=x-\frac{2}{x} \) ...
這方法真漂亮,當初有嘗試把x關進根號,但沒有化簡到這一步,
這方法比較簡潔有力。

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引用:
原帖由 bugmens 於 2012-5-15 06:54 PM 發表
8.
x為非零實數,\( \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x} \),若\( x=x_0 \)時,\( f(x) \)有最大值M,則數對\( (x_0,M)= \)?

若x為正數,求 ...
感謝告知,那lovestupid網友的第五題的點是否要改為(4 sqrt(2), 3 sqrt(2) ) 呢?因為原來的點好像不在橢圓上
我是參考前一篇的題目去作的,

最後整篇的題目大致上都補的差不多了,在此獻醜分享給大家,有些題目也參考了其他老師的解法也特地附上註解。

附件

101 新竹女中 數學科 教師甄試.pdf (144.63 KB)

2012-5-16 10:05, 下載次數: 3724

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引用:
原帖由 hua0127 於 2012-5-16 10:05 AM 發表


感謝告知,那lovestupid網友的第五題的點是否要改為(4 sqrt(2), 3 sqrt(2) ) 呢?因為原來的點好像不在橢圓上
我是參考前一篇的題目去作的,

最後整篇的題目大致上都補的差不多了,在此獻醜分享給大家,有些題目也參考了其他 ...
填充10:
在裡面的解答用兩端平方,會造成增根的危險
其實這題的解只有x=-2
x=(-3-5^0.5)/2是不合的


竹女答案給錯了,多給了(-3-5^0.5)/2

都已經公佈初試名單了...冏...

(我有用mathematica再確認一次)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-16 09:42 PM 編輯 ]

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填充10(沒有用到增根的方法)
令a=(x^2-x+2)^0.5 ,b=(2x^2+2x+3)^0.5 ,c=(2x^2-1)^0.5 ,d=(x^2-3x-2)^0.5
則a+b=c+d--------------(1)
且a^2-d^2=b^2-c^2,得(a+b)(a-b)=(d+c)(d-c)------------(2)
由(1)&(2)得a-b=d-c--------------(3)
(1)+(3)得 a=d ,解(x^2-x+2)^0.5=(x^2-3x-2)^0.5 ,得x=-2
(1)-(3)得  b=c ,解(2x^2+2x+3)^0.5=(2x^2-1)^0.5 ,得x=-2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-20 09:03 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-16 09:44 PM 發表
填充10(沒有用到增根的方法)
令a=(x^2-x+2)^0.5 ,b=(2x^2+2x+3)^0.5 ,c=(2x^2-1)^0.5 ,d=(x^2-3x-2)^0.5
則a+b=c+d--------------(1)
且a^2-d^2=b^2-c^2,得(a+d)(a-d)=(b+c)(b-c)------------(2)
由(1)&(2)得a-d=b-c ...
我的作法是
a-d=c-b  分子有理化變成   (2x+4)/(a+d)=(-2x-4)/(c+b)

所以x=-2   若x不等於-2 則分子約掉變成  1/(a+d)=-1/(c+b)

整理可得 a+b+c+d=0  但a,b,c,d皆大於等於0且無法同時等於0  所以a+b+c+d不等於0

可確定只有x=-2  一解

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感謝樓上兩位的提醒,的確平方造成了增根,
代入原方程式剛好造成兩邊差一個負號,故
x=(-3-5^0.5)/2是不合的,當時只意識到只要滿足定義域即可,是個大疏忽

樓上的作法都蠻簡潔有力~推!
又長了一些知識......以後處理這一類問題要更加小心才是

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想請教填充第五題一下!!!!!!!!

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回復 18# man90244 的帖子

\(\displaystyle f(x)=(x^4+2x^2+1)-k^2(x^2+2x+1) \)
\(\displaystyle =(x^2+1)^2-(kx+k)^2 \)
\(\displaystyle =(x^2+kx+(k+1))(x^2-kx+(1-k)) \)
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 19# 老王 的帖子

謝謝大大的解答!!!!
想順便在問一下那如果遇到不能因式分解該怎麼辦???
如:
X^4-2(3a+1)X^2+7a^2+3a=0恰有2實根,求實數a的範圍??????

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