謝謝瑋岳老師，我了解了。

潛水這麼多天了
本來想說把詳解全部寫一寫後再一起貼上來
最後想想，很多簡單的題目應該不需要貼了
所以，我把一些跟其它前輩不一樣的解法貼出來
還有一些是版上未貼出詳解的題目一併貼出，與各位分享

因為我也受過很多版上前輩的幫忙
尤其是瑋岳學長
(其實他算是我「師兄」，我研究所上課的時候是上他的論文，哈哈 ^^!!)

所以雖然小弟實力微薄，但還是跟各位分享一些心血

【註：weiye 於 101.04.11 協助幫圖檔打包成附加檔案，以避免未來連結丟失。：Ｄ　感謝 poemghost 提供的漂亮解法！！】

解的真的很漂亮   感謝您

真感恩多位協助解題的老師們，想請教填充11題，感恩

三次曲線\(y=x^3+ax^2+x+1\)，若由原點可作三條相異之切線，試求實數\(a\)的範圍為　　　。

填充第 11 題：

令 \(f(x)=x^3+ax^2+x+1\)，則 \(f\,'(x)=3x^2+2ax+1\)

設通過原點的切線與 \(y=f(x)\) 切於 \((x_0,y_0)\)

則 \(\displaystyle f\,'(x_0)=\frac{y_0-0}{x_0-0}\) 且 \(y_0=f(x_0)\)

\(\displaystyle\Rightarrow 3x_0^2+2ax_0+1=\frac{y_0}{x_0}\) 且 \(y_0=x_0^3+ax_0^2+x_0+1\)

\(\Rightarrow x_0\left(3x_0^2+2ax_0+1\right)=x_0^3+ax_0^2+x_0+1\)

\(\Rightarrow x_0\left(3x_0^2+2ax_0+1\right)=x_0^3+ax_0^2+x_0+1\)

\(\Rightarrow 2x_0^3+ax_0^2-1=0\)

令 \(g(x)=2x^3+ax^2-1\)，

\(g\,'(x)=6x^2+2ax=0\Rightarrow x=0\) 或 \(\displaystyle  x=\frac{-a}{3}\)

依題意，可知 \(g(x)=0\) 有三相異實根，

所以，\(\displaystyle  g(0)\cdot g(\frac{-a}{3})<0\)

\(\Rightarrow a>3.\)


相似類題：請參見 99台中二中填充第 5 題 https://math.pro/db/thread-934-1-1.html

填充題感覺上有很多都是高中數學競賽題，無聊去翻了一下，才發現
題充一，95年台中區筆試二第一題；
題充二，95年高屏區筆試二第三題；
題充六，95年台中區筆試一第一題；
題充七，95年台中區筆試一第二題；
題充八，95年高屏區筆試一第三題；

這......是出題老師正好做到95年份的嗎??
還有幾題也應該都在高中競賽裡面出現過。

比較想說的是填充八，原題是

設\( a \)為正整數，\( x \)為實數且滿足\( 1 \le x \le a \)，試求滿足方程式
\(\displaystyle 2x^2-[2x^2]=2(x-[x])^2 \)的解，其個數有多少?
(註表示不大於\( b \)的最大整數)。

這題參考解答給錯了，中科的出題者也有發現，所以改成求\( 1 \le x <2 \)的解，
如果犯跟高屏區相同的錯誤，就會寫出4個。

我的作法是:
令\( [x]=n \)，那麼\( x=n+\alpha \)
\( 2x^2=2n^2+4n\alpha+2\alpha^2 \)
再設\( M=[2x^2] \)
就要滿足\( 2n^2+4n\alpha+2\alpha^2-M=2\alpha^2 \)
\( 4n\alpha=M-2n^2 \in Z \)
但是\( 2\alpha^2=2x^2-[2x^2]<1 \)
所以在\( 1 \le x <2 \)只有\(\displaystyle \frac{4}{4},\frac{5}{4},\frac{6}{4} \)滿足。

至於一般情況，我用excel算了一下，發現沒啥規則，
或許這是個科展的好題目，但是我想那不是我能夠掌握的東西。

[ 本帖最後由 老王 於 2012-4-13 09:08 AM 編輯 ]

請問填充第10題有沒有比較不容易算錯的算法?
找出a+b+c+d+e=11,b+2c+3d+4e=6的非負整數解,很容易miss掉一些
不知道生成函數是怎麼做?
是像第3頁tsusy那樣做嗎? 怎麼想到的阿?

如 Pacers31 在第 25 篇的回覆，用 H 比較快。

剛剛突然想到我貼的填充13中的第一階段應該是寫 \(f(12)-f(8)f(4)\) 才對

怕大家誤會只要扣掉 \(f(8)\) ，所以上來澄清一下 ^^

請教一個小地方
填充第一題
N點不算NQ線段與球面的交點嗎?
謝謝