請問第四題及第十四題如何做?
其中第十四題: 我的做法是一個頂點可以找到四個直角三角形，所以八個可以找到32個直角三角形，可是答案是48個直角三角形

4.
設A(432)，B(214)，點P在平面E：x−2y−2z=−1上移動，則PA2+PB2的最小値為　　　。

14.
從正立方體的8個頂點中選取3個作三角形，試問選到直角三角形的機率=　　　。

填充題第 4 題：

解一：

先求出 AB 的中點 M(323)

在 ABP 中，因為 M 為中點，

所以由三角形的中線定理，可得 PA2+PA2=2AM2+PM2 

因為 AM=3 

且 PM 的最小值為 d(ML)=3−4−6+112+(−2)2+(−2)2=2

因此 PA2+PA2 的最小值為 232+22=14 



解二：

令 P(2t+2s−1ts) 其中 ts 皆為實數，

則 PA2+PB2=2t+2s−52+t−32+s−22+2t+2s−32+t−12+s−42 

　　　　　　=10t2+16st−40t+10s2−44s+64

　　　　　　=10t+54s−22+518s−352+1414 

第 14 題

分母＝C38=56

為方便解說，設此正立方體的邊長為 1，

分子＝（邊長為112  的直角三角形個數）＋（邊長為123  的直角三角形個數）

　　=64+64=48

所求＝5648=76

註：


六面邊長為 1 的正方形，每面有四個直角三角形；

六面長、寬為 12 的長方形，每面有四個直角三角形。

5.
由12320挑出x1x2x3三個數字，且x1x2x3，求x_1與x_2至少差3，x_2與x_3至少差5的機率為　　　。

關於填充第五題,我全部把它列出來,為何算不出答案?
計算如下
(x_1,x_2,x_3)=(1,4,9\to 20) 共12個
(x_1,x_2,x_3)=(1,5,10\to 20) 共11個
...
(x_1,x_2,x_3)=(1,15,20) 共1個

(x_1,x_2,x_3)=(2,5,10\to 20)    共11個
(x_1,x_2,x_3)=(2,6,11\to 20) 共10個
...
(x_1,x_2,x_3)=(2,15,20) 共1個

一直到
(x_1,x_2,x_3)=(12,15,20) 共1個
所以一共有(12+11+...+1)+(11+10+...+1)+...+(2+1)+1=364個

為什麼會跟答案\frac{91}{285}=\frac{455}{C(20,3)} 的分子差了91
很納悶少算了哪個?

你沒算錯， \displaystyle \frac{364}{C^{20}_3}=\frac{91}{285}.



填充第 5 題：

題目：由 1, 2, 3, …, 20挑出 x_1, x_2, x_3 三個數字﹐且 x_1<x_2<x_3 ，求 x_1 與 x_2 至少差 3， x_2 與 x_3 至少差 5 的機率為何？

解答：

將 1 至 20 這二十個號碼由左至右排成一列，

將被選到的號碼用符號◆來表示，

將沒有被選到的號碼用符號□來表示，

則這 3 個◆ 跟 17 個□到底會有怎樣的排列的情況呢？且讓我們看下去～


先將 ◆ ◆ ◆ 插入題目要求的 □ ～～如下圖：

　　　◆ □□ ◆ □□□□ ◆

這樣就能保證被選出來的較小的兩個號碼之間相差至少 3 ，

被選出來的較大的兩個號碼之間相差至少 5 ，

可是～～～還有 11 個□還沒有排入呀！！！！


好吧～將這 11 個□排入由三個隔板～噢，是三個◆所區隔開來的四個區域中，

因此總共會有 H^4_{11}=C^{14}_{11}=364 種排列方法數，

每一種排列的方法數就對應到一種選出 x_1,x_2,x_3 三個號碼的方法。


分子＝364

分母＝C^{20}_3=1140

所求機率＝\displaystyle\frac{364}{1140}=\frac{91}{285}.

感謝weiye,原來錯在一個讓人覺得愚蠢的地方

也謝謝你提供另一個方法^^

想請教第15題????

15.
求函數 f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1} ,x \in R的値域　　　。
[解答]
配方 f(x)=\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}-\sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}

將其看成點 (x,\frac{\sqrt{3}}{2}) 到 (\pm\frac{1}{2},0) 的距離差

由三角不等式得 -1<f(x)<1

而當 x \to \pm \infty 時 f(x) \to \pm 1

想請教第7題?????

7.
平面上有一橢圓，已知其焦點為(2\sqrt{5},0)和(-2\sqrt{5},0)，且x+2y=5為此橢圓的切線，求此橢圓方程式為　　　。

第 7 題：

將兩焦點 F_1,F_2 其中的 F_1 對稱切線得 F_1'

\overline{F_1'F_2} 即為橢圓長軸長 2a（由光學性質即可知），

還有 2c=\overline{F_1F_2}，

可得 b=\sqrt{a^2-c^2}

橢圓中心點為 \displaystyle\frac{F_1+F_2}{2}

又橢圓為橫擺（F_1 與 F_2 有相同的 y 坐標），

可得橢圓方程式。