請問第四題及第十四題如何做?
其中第十四題: 我的做法是一個頂點可以找到四個直角三角形，所以八個可以找到32個直角三角形，可是答案是48個直角三角形

4.
設\(A(4,3,2)\)，\(B(2,1,4)\)，點\(P\)在平面\(E\)：\(x-2y-2z=-1\)上移動，則\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2\)的最小値為　　　。

14.
從正立方體的8個頂點中選取3個作三角形，試問選到直角三角形的機率=　　　。

填充題第 4 題：

解一：

先求出 \(\overline{AB}\) 的中點 \(M(3,2,3)\)

在 \(\triangle ABP\) 中，因為 \(M\) 為中點，

所以由三角形的中線定理，可得 \(\displaystyle \overline{PA}^2+\overline{PA}^2=2\left(\overline{AM}^2+\overline{PM}^2\right)\)

因為 \(\displaystyle \overline{AM}=\sqrt{3}\)

且 \(\overline{PM}\) 的最小值為 \(\displaystyle d(M,L)=\frac{\left|3-4-6+1\right|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=2\)

因此 \(\overline{PA}^2+\overline{PA}^2\) 的最小值為 \(2\left(\left(\sqrt{3}\right)^2+2^2\right)=14.\)



解二：

令 \(P(2t+2s-1,t,s)\) 其中 \(t,s\) 皆為實數，

則 \(\displaystyle \overline{PA}^2+\overline{PB}^2=\left(2t+2s-5\right)^2+\left(t-3\right)^2+\left(s-2\right)^2+\left(2t+2s-3\right)^2+\left(t-1\right)^2+\left(s-4\right)^2\)

　　　　　　\(=10t^2+16st-40t+10s^2-44s+64\)

　　　　　　\(\displaystyle =10\left(t+\frac{4s}{5}-2\right)^2+\frac{18}{5}\left(s-\frac{5}{3}\right)^2+14\geq14.\)

第 14 題

分母＝\(C^8_3=56\)

為方便解說，設此正立方體的邊長為 \(1\)，

分子＝（邊長為\(1,1,\sqrt{2}\) 的直角三角形個數）＋（邊長為\(1,\sqrt{2},\sqrt{3}\) 的直角三角形個數）

　　\(=6\times4 + 6\times 4=48\)

所求＝\(\displaystyle \frac{48}{56}=\frac{6}{7}.\)

註：


六面邊長為 \(1\) 的正方形，每面有四個直角三角形；

六面長、寬為 \(1,\sqrt{2}\)的長方形，每面有四個直角三角形。

5.
由\(1,2,3, \ldots,20\)挑出\(x_1,x_2,x_3\)三個數字，且\(x_1<x_2<x_3\)，求\(x_1\)與\(x_2\)至少差3，\(x_2\)與\(x_3\)至少差5的機率為　　　。

關於填充第五題,我全部把它列出來,為何算不出答案?
計算如下
\( (x_1,x_2,x_3)=(1,4,9\to 20) \) 共12個
\( (x_1,x_2,x_3)=(1,5,10\to 20) \) 共11個
...
\( (x_1,x_2,x_3)=(1,15,20) \) 共1個

\( (x_1,x_2,x_3)=(2,5,10\to 20) \)   共11個
\( (x_1,x_2,x_3)=(2,6,11\to 20) \) 共10個
...
\( (x_1,x_2,x_3)=(2,15,20) \) 共1個

一直到
\( (x_1,x_2,x_3)=(12,15,20) \) 共1個
所以一共有(12+11+...+1)+(11+10+...+1)+...+(2+1)+1=364個

為什麼會跟答案\(\frac{91}{285}=\frac{455}{C(20,3)} \)的分子差了91
很納悶少算了哪個?

你沒算錯， \(\displaystyle \frac{364}{C^{20}_3}=\frac{91}{285}.\)



填充第 5 題：

題目：由 \(1, 2, 3, …, 20\)挑出 \(x_1, x_2, x_3\) 三個數字﹐且 \(x_1<x_2<x_3\) ，求 \(x_1\) 與 \(x_2\) 至少差 \(3\)， \(x_2\) 與 \(x_3\) 至少差 \(5\) 的機率為何？

解答：

將 1 至 20 這二十個號碼由左至右排成一列，

將被選到的號碼用符號◆來表示，

將沒有被選到的號碼用符號□來表示，

則這 3 個◆ 跟 17 個□到底會有怎樣的排列的情況呢？且讓我們看下去～


先將 ◆ ◆ ◆ 插入題目要求的 □ ～～如下圖：

　　　◆ □□ ◆ □□□□ ◆

這樣就能保證被選出來的較小的兩個號碼之間相差至少 3 ，

被選出來的較大的兩個號碼之間相差至少 5 ，

可是～～～還有 11 個□還沒有排入呀！！！！


好吧～將這 11 個□排入由三個隔板～噢，是三個◆所區隔開來的四個區域中，

因此總共會有 \(H^4_{11}=C^{14}_{11}=364\) 種排列方法數，

每一種排列的方法數就對應到一種選出 \(x_1,x_2,x_3\) 三個號碼的方法。


分子＝\(364\)

分母＝\(C^{20}_3=1140\)

所求機率＝\(\displaystyle\frac{364}{1140}=\frac{91}{285}.\)

感謝weiye,原來錯在一個讓人覺得愚蠢的地方

也謝謝你提供另一個方法^^

想請教第15題????

15.
求函數\( f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1} \),\(x \in R\)的値域　　　。
[解答]
配方 \( f(x)=\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}-\sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}} \)

將其看成點 \( (x,\frac{\sqrt{3}}{2}) \) 到 \( (\pm\frac{1}{2},0) \) 的距離差

由三角不等式得 \( -1<f(x)<1 \)

而當 \( x \to \pm \infty \) 時 \( f(x) \to \pm 1\)

想請教第7題?????

7.
平面上有一橢圓，已知其焦點為\((2\sqrt{5},0)\)和\((-2\sqrt{5},0)\)，且\(x+2y=5\)為此橢圓的切線，求此橢圓方程式為　　　。

第 7 題：

將兩焦點 \(F_1,F_2\) 其中的 \(F_1\) 對稱切線得 \(F_1'\)

\(\overline{F_1'F_2}\) 即為橢圓長軸長 \(2a\)（由光學性質即可知），

還有 \(2c=\overline{F_1F_2}\)，

可得 \(b=\sqrt{a^2-c^2}\)

橢圓中心點為 \(\displaystyle\frac{F_1+F_2}{2}\)

又橢圓為橫擺（\(F_1\) 與 \(F_2\) 有相同的 \(y\) 坐標），

可得橢圓方程式。