感謝PTT實習教師板板友lairabbit分享
請各位享用吧
PS.有參照該分享文底下推文修正檔案了

[ 本帖最後由 八神庵 於 2011-5-30 09:31 PM 編輯 ]

3.
正方形ABCD中一點P，已知PA=7、PB=3、PC=5，求此正方形的面積。

設正方形ABCD內部有一點P滿足AP=3，BP=42 ，DP=52 ，試求正方形ABCD的面積。
(建中通訊解題第17期)


2.
兩島嶼，一島為凸n邊形，另一島為圓形，已知兩島周長一樣，島嶼沿岸d公里內皆為該島的領海，求證此兩島的領海面積一樣大？

一國之領海為由其海岸線向外延伸5浬所成區域，今有甲、乙二島國，甲島國為一圓形，乙島國為一凸六邊形。若甲、乙二島國之海岸線長相等，求證此二島國之領海相等。
(高中數學101　P139)


9.
Sn=nk=2log2(cos2k) ，S=limnSn，求S？

設Sn=nk=2log2(cos2k) ，求證：−1Sn0
(97潮州高中)

想請教4、7、8題的解法，感恩！

第 4 題：一曲線 :y=2ax  上一點 P，已知 PO=1，P 對 x 軸做垂足 H，求被 PHx 軸圍住，繞 x 軸旋轉的旋轉體體積 V(a) 的最大值。

解答：

令 P(2at22at)，其中 t0，

則 OP2=(2at2)2+(2at)2=1

　　4a2t4+4a2t2=1

V(a)=02at22ax2dx 

　　=ax202at2

　　=4a3t4

由算幾不等式，可得

　　34a2t4+2a2t2+2a2t234a2t42a2t22a2t2 

　　31316a6t8 

　　934a3t4 

所以，V(a) 的最大值為 93 

且此時解聯立方程式 4a2t4=2a2t2 且 4a^2t^4+4a^2t^2=1，

可得 \displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{3}}, t=\frac{1}{\sqrt{2}}

註：如果有誤，希望網友能請不吝告知，感謝。

第 9 題：

\displaystyle S_n=\log_2\left(\cos\frac{\pi}{2^2}\cos\frac{\pi}{2^3}\cdots\cos\frac{\pi}{2^{n-1}}\cos\frac{\pi}{2^n}\right)

　\displaystyle=\log_2\left(\frac{\displaystyle\cos\frac{\pi}{2^2}\cos\frac{\pi}{2^3}\cdots\cos\frac{\pi}{2^{n-1}}\cdot 2\cos\frac{\pi}{2^n}\sin\frac{\pi}{2^n}}{\displaystyle2\sin\frac{\pi}{2^n}}\right)

　\displaystyle=\log_2\left(\frac{\displaystyle\cos\frac{\pi}{2^2}\cos\frac{\pi}{2^3}\cdots\cos\frac{\pi}{2^{n-1}}\cdot \sin\frac{\pi}{2^{n-1}}}{\displaystyle2\sin\frac{\pi}{2^n}}\right)

　=\cdots

　\displaystyle=\log_2\left(\frac{\displaystyle\sin\frac{\pi}{2}}{\displaystyle2^{n-1}\sin\frac{\pi}{2^n}}\right)

　\displaystyle=\log_2\left(\frac{1}{\displaystyle2^{n-1}\sin\frac{\pi}{2^n}}\right)

　\displaystyle=\log_2\left(\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\displaystyle\frac{\pi}{2^n}}{\displaystyle\sin\frac{\pi}{2^n}}\right)

因為 \log_2 x 為連續函數，且 \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{\pi}{2^n}}{\displaystyle\sin\frac{\pi}{2^n}}=1

所以 \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\log_2\left(\frac{2}{\pi}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{\pi}{2^n}}{\displaystyle\sin\frac{\pi}{2^n}}\right)

　　　　　　\displaystyle=\log_2\left(\frac{2}{\pi}\cdot1\right)

　　　　　　=1-\log_2\pi.


註：如果有錯誤的地方，希望網友能請不吝告知，感謝。 ^__^

第 7 題：

若 n 為偶數，則 \displaystyle a_n=\left(1^2-2^2\right)+\left(3^2-4^2\right)+\cdots+\left((n-1)^2-n^2\right)

　　　　　　　　　　　=(-3)+(-7)+\cdots+(-2n+1)

　　　　　　　　　　　\displaystyle =-\left(\frac{\frac{n}{2}\cdot(2n+2)}{2}\right)

　　　　　　　　　　　\displaystyle =-\frac{n(n+1)}{2}

若 n 為奇數，則 \displaystyle a_n=\left(1^2-2^2\right)+\left(3^2-4^2\right)+\cdots+\left((n-2)^2-(n-1)^2\right)+n^2

　　　　　　　　　　　\displaystyle =-\frac{(n-1)n}{2}+n^2

　　　　　　　　　　　\displaystyle =\frac{n(n+1)}{2}

所以 \displaystyle a_n=(-1)^{n+1}\cdot\frac{n(n+1)}{2}

故，

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{a_n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+1)}

　　　　　　　\displaystyle =2\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)

　　　　　　　=2.

註：如果有錯誤的地方，希望網友能請不吝告知，感謝。 ^__^

第8題提供一點idea  我沒有詳細作出來

假設 \displaystyle{z= \frac{1}{2}( \cos(x)+i \sin(x))}

此題會是 z 的無窮等比級數的虛部

所以 \displaystyle{a=\frac{z}{1-z}}  算完再找虛部

第 8 題：

引用:

原帖由 iamcfg 於 2011-5-29 11:20 PM 發表
第8題提供一點idea  我沒有詳細作出來

假設 \displaystyle{z= \frac{1}{2}( \cos(x)+i \sin(x))}

此題會是 z 的無窮等比級數的虛部

所以 \displaystyle{a=\frac{z}{1-z}}  算完再找虛部 ...

令 \displaystyle z=\frac{1}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)，

則 \displaystyle z+z^2+z^3+\cdots=\frac{z}{1-z}=\frac{\frac{1}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)}{1-\frac{1}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)}

　　　　　　　　　　\displaystyle =\frac{\left(\cos x+i\sin x\right)}{2-\cos x-i \sin x}

　　　　　　　　　　\displaystyle =\frac{\left(\cos x+i\sin x\right)}{\left(2-\cos x\right)^2+\sin^2 x}\cdot\left(2-\cos x+i\sin x\right)


題目所求即為 z+z^2+z^3+\cdots 的虛部 \displaystyle =\frac{\cos x\sin x+\sin x\left(2-\cos x\right)}{\left(2-\cos x\right)^2+\sin^2 x}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\displaystyle =\frac{2\sin x}{5-4\cos x}.


註：感謝 iamcfg 提供這個超讚的方法！

感謝兩位老師的快速解答：)
另外補充一下:
第8題好像還有第二小題，要解出An的範圍(0<=x<=2π)

令 \displaystyle k=\frac{2\sin x}{5-4\cos x}

則 \displaystyle 2\sin x+4k\cos x=5k

　\displaystyle \Rightarrow \left|5k\right|\leq\sqrt{2^2+\left(4k\right)^2}

　 \displaystyle \Rightarrow \frac{-2}{3}\leq k\leq\frac{2}{3}

所以 \displaystyle \frac{-2}{3}\leq \lim_{n\to\infty} a_n\leq\frac{2}{3}