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100臺北市陽明高中

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100臺北市陽明高中

剛考完頭好暈,但沒吃飯也要把題目趕快記下來!
我已經盡力回想了,不過還是忘了一題填充題~
提供給大家參考哦~
高手快來解題吧!

附件

100年北市陽明高中教師甄選數學考題.pdf (175.62 KB)

2011-6-11 14:19, 下載次數: 2878

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ellipse 解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2542

1.
\( x,y,z \)為正實數,則\( \displaystyle \frac{xy+2 yz}{x^2+y^2+z^2} \)的最小值為?
(奧數教程 高一 第6講 函數的最大值和最小值)


101.3.1補充
設\( x,y,z,w \)是非零實數,求\( \displaystyle \frac{xy+2yz+zw}{x^2+y^2+z^2+w^2} \)的最大值
(奧數教程 高一 第6講 函數的最大值和最小值)


[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-3-1 06:54 PM 編輯 ]

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殘念解答

這題我在考完後,吃麵完才想到怎麼做!
我覺得我的解法比上面漂亮多了,所以提出來分享一下!

將分子分母同除以y^2,將x/y、z/y 視為兩個正數 a、b
則改成求 (a+2b)/(a^2+b^2+1) 之最大值
這時 (a,b) 可視為第一象限的點 (a,b)=(rcosθ,rsinθ)
代入之後得 r(cosθ+2sinθ) /( r^1+1)
因cosθ+2sinθ的最大值是√5,又r/(r^2+1)的最大值是1/2 (分子分母同除以r,再用算幾不等式)
故最大值為 √5/2

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不知道是不是我算錯

填充6算不出答案,還有證明題第二題是不是有少條件?

還請各位高手指點一下 , 謝謝!

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另外,證明第三題似乎有問題

因為我找到反例

當 n=3 時,這三人答對題數各為 0 , 4 , 6 , 則不及格人數 = 優秀人數 。

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不好意思
第六題是我寫錯
算得出答案來
^^"

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請問計算第2題,沒有給初始條件這樣有辦法證明嗎
又,我想到的是數學歸納法,請問各位老師有其他的證明方法嗎

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回復 7# jen123 的帖子

計算第二題,用數學歸納法的話,可以參考 thepiano 老師的解法

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2542#p6124

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題號有點混亂,直接寫題目
\(\displaystyle y=\frac{\sin x}{\sqrt{5+\cos x}} \)求y的範圍。

\(\displaystyle y=\frac{\sin x}{\sqrt{5+\cos x}}=\frac{\sin x}{\sqrt{4+\cos{x}+\cos^2{x}+\sin^2{x}}} \)

\(\displaystyle y=\frac{\sin x}{\sqrt{(2+\cos{x})^2+\sin^2{x}}} \)

這可以看成是圓\(\displaystyle (x-2)^2+y^2=1 \)上一點和原點連線,與x軸正向所夾有向角的正弦值,
所以最大與最小就是發生在切線的時候,直接由圖形就可以得到範圍
\(\displaystyle -\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2} \)


另外,有些題目應該是記錯了,例如計算第三題,少了一個條件
"每個人答對題數的奇偶性不完全相同"

[ 本帖最後由 老王 於 2012-1-8 08:49 PM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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引用:
原帖由 eggsu1026 於 2011-6-19 09:53 PM 發表
這題我在考完後,吃麵完才想到怎麼做!
我覺得我的解法比上面漂亮多了,所以提出來分享一下!

將分子分母同除以y^2,將x/y、z/y 視為兩個正數 a、b
則改成求 (a+2b)/(a^2+b^2+1) 之最大值
這時 (a,b) 可視為第一象限的點 (a,b ...
這方法也很不錯!!!
只是高中數學競賽曾經出現過型如:
\(\displaystyle x,y,z,t \)都是正實數,求
\(\displaystyle \frac{xy+2yz+zt}{x^2+y^2+z^2+t^2} \)的最大值,
我是用bugmens大大所PO的方法去處理的。

[ 本帖最後由 老王 於 2012-1-8 08:56 PM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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