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請問第3題第5題第9題 如何做?

請問第3題第5題第9題  證明第1題如何做?

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回復 11# mandy 的帖子

填充題第 3 題

\((x+2y)(x-2y)=4\Rightarrow \displaystyle \frac{x^2}{4}-y^2=1\)

且 \(x+2y>0,x-2y>0\)

亦即 \((x,y)\) 為落在圖形中右葉的雙曲線上的點

因為所求 \(|x|-|y|\) 中,\(x,y\) 變號後帶入結果不便,

且右葉圖形上下對稱,不失一般性可假設 \(x\geq0, y\geq 0\)

求雙曲線在第一象限的點帶入 \(x-y\) 後所得的最小值及為所求。

先找出 \(\displaystyle \frac{x^2}{4}-y^2=1\) 的切線中斜率為 \(1\) 者為 \(y=1\cdot x \pm\sqrt{4\cdot1^2+(-1)}\)

因此,右葉雙曲線中斜率為 \(1\) 者為 \(y=x-\sqrt{3}\Rightarrow x-y=\sqrt{3}\)

與右葉雙曲線有交點且斜率為 \(1\) 的直線 \(x-y=k\) 中,

當 \(k\) 有最小值時,即為直線在最左邊者,

此即為 \(x-y=\sqrt{3}\)

因此,\(\sqrt{3}\) 即為所求。

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2012-1-19 12:34

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回復 11# mandy 的帖子

填充題第 5 題

自 P 對圓可做兩條切線,

此同義於「P位在圓的外部」

因此將 P 點帶入圓方程式,需改成>0

再解 \(k\) 的範圍即可。

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回復 11# mandy 的帖子

填充題第 9 題:


五間廁所,如下所列:

   廁 廁 廁 廁 廁

每個廁所間至少要放兩個無廁車廂~

   廁 無無 廁 無無 廁 無無 廁 無無 廁

因此,還剩下 \(15-8=7\) 個無廁車廂要放入由5個隔板(啊~是廁所~:P)所隔成的六個區域中,

共有 \(H^6_7=792\) 種方法。



註:感謝 wooden 於後方回覆提醒小弟的計算錯誤,現已修正。哈。

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回復 14# weiye 的帖子

瑋岳兄,你粗心了,H(6,7)=792

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請問 第1題, 不等式等號成立時, x=1, y=sqrt(5), z=2 應如何求呢?

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回復 16# martinofncku 的帖子

第 1 題等號成立的條件:

當解答中的兩個算幾不等式成立時,

\(\displaystyle x=\frac{y}{\sqrt{5}}, \frac{2y}{\sqrt{5}}=z\)

\(\displaystyle \Rightarrow x:y:z=1:\sqrt{5}:2\)

令 \(\displaystyle x=t, y=\sqrt{5}t, z=2t\) ,其中 \(t\) 為非零實數,

則解答中的兩個算幾不等式都會成立。

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所以 x=1, y=sqrt(5), z=2 只是其中的一解?

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回復 18# martinofncku 的帖子

是的。(對於不等式的等號,這題也只需要"存在性",至少有一組解會滿足等號就可以了。)

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回復 13# weiye 的帖子

第五題 的題目是不是有問題啊?因為代進去之後是恆正啊

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