計算 4 ，沒有算錯，只是後面要用特徵值分解，繼續做完而已
轉移矩陣為 \( P=\left[\begin{array}{ccc}
\frac{1}{3} & \frac{1}{9} & 0\\
\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{4}{9}\\
0 & \frac{2}{9} & \frac{5}{9}\end{array}\right] \)

解其特徵值和特徵向量分別為 \(1,\frac{4}{9},\frac{1}{9} \) 和 \( \left[\begin{array}{c}
\frac{1}{3}\\
2\\
1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}
-\frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2}\\
1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}
1\\
-2\\
1\end{array}\right] \)。

將初始狀態表示特徵向量之線性組合

\( \left[\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\end{array}\right]=\frac{3}{10}\left[\begin{array}{c}
\frac{1}{3}\\
2\\
1\end{array}\right]-\frac{2}{15}\left[\begin{array}{c}
-\frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2}\\
1\end{array}\right]-\frac{1}{6}\left[\begin{array}{c}
1\\
-2\\
1\end{array}\right] \)。

\( P^{i}\left[\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\end{array}\right]=\frac{3}{10}\left[\begin{array}{c}
\frac{1}{3}\\
2\\
1\end{array}\right]-\frac{2}{15}\cdot(\frac{4}{9})^{i}\left[\begin{array}{c}
-\frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2}\\
1\end{array}\right]-\frac{1}{6}\cdot(\frac{1}{9})^{i}\left[\begin{array}{c}
1\\
-2\\
1\end{array}\right] \)

所以機率為 \( \frac{3}{5}+\frac{1}{15}\cdot(\frac{4}{9})^{i}+\frac{1}{3}\cdot(\frac{1}{9})^{i} \)。


有算錯的話，麻煩指正一下

想請教一下計算第五題要如何證明@@...

計算第 5 題：
三平面\(E_1\)：\(a_1x+b_1y+c_1z=d_1\)、\(E_2\)：\(a_2x+b_2y+c_2z=d_2\)、\(E_3\)：\(a_3x+b_3y+c_3z=d_3\)在空間中形成兩兩平面交於一線，且此三線平行，
試證明：\(\Delta=\left| \matrix{a_1&b_1&c_1\cr a_2&b_2&c_2\cr a_3&b_3&c_3}\right|=0\)，且\(\Delta_x=\left| \matrix{d_1&b_1&c_1\cr d_2&b_2&c_2\cr d_3&b_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_y=\left| \matrix{a_1&d_1&c_1\cr a_2&d_2&c_2\cr a_3&d_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_z=\left| \matrix{a_1&b_1&d_1\cr a_2&b_2&d_2\cr a_3&b_3&d_3}\right|\)三者至少有一個不是0。
[解答]
通常教師手冊都會有詳細的證明，但大多步驟有點長，

之前在龍騰的《數學新天地》有看到過一篇北一女蘇俊鴻老師的《用向量來看平面族定理》

h ttp://www.lungteng.com.tw/LungTengNet/HtmlMemberArea/publish/Newpaper/013/math/N7202-ebook(p26~35).pdf　連結已失效

當中頁碼第 34 頁（該頁左下角的段落）有個超簡潔的證明。

111.4.10補充
上傳 用向量來看平面族定理.pdf

111.7.12補充
設\(E_1\)：\(a_1x+b_1y+c_1z=d_1\)、\(E_2\)：\(a_2x+b_2y+c_2z=d_2\)、\(E_3\)：\(a_3x+b_3y+c_3z=d_3\)為空間中三平面，令
\(\Delta=\left| \matrix{a_1&b_1&c_1\cr a_2&b_2&c_2\cr a_3&b_3&c_3}\right|=0\)，\(\Delta_x=\left| \matrix{d_1&b_1&c_1\cr d_2&b_2&c_2\cr d_3&b_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_y=\left| \matrix{a_1&d_1&c_1\cr a_2&d_2&c_2\cr a_3&d_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_z=\left| \matrix{a_1&b_1&d_1\cr a_2&b_2&d_2\cr a_3&b_3&d_3}\right|\)，
試證：若此三平面相異且相交於一直線，則\(\Delta=\Delta_x=\Delta_y=\Delta_z=0\)
(97松山家商，https://math.pro/db/thread-649-1-1.html)

若線性方程組\(L\)：\(\cases{a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \cr a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \cr a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3}\)在坐標空間中代表三個平面，兩兩相交於一線，且三交線兩兩互相平行，
試證明：\(\Delta_x=\left| \matrix{d_1&b_1&c_1\cr d_2&b_2&c_2\cr d_3&b_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_y=\left| \matrix{a_1&d_1&c_1\cr a_2&d_2&c_2\cr a_3&d_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_z=\left| \matrix{a_1&b_1&d_1\cr a_2&b_2&d_2\cr a_3&b_3&d_3}\right|\)不全為0。
(111屏東高中，https://math.pro/db/thread-3663-1-1.html)

115.3.23補充
三平面\(\cases{a_1x+b_1y+c_1z=d_1\cr a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \cr a_3x+b_3y+c_3z=d_3}\)，令\(\Delta=\left| \matrix{a_1&b_1&c_1\cr a_2&b_2&c_2\cr a_3&b_3&c_3}\right|=0\)，且\(\Delta_x=\left| \matrix{d_1&b_1&c_1\cr d_2&b_2&c_2\cr d_3&b_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_y=\left| \matrix{a_1&d_1&c_1\cr a_2&d_2&c_2\cr a_3&d_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_z=\left| \matrix{a_1&b_1&d_1\cr a_2&b_2&d_2\cr a_3&b_3&d_3}\right|\)。
試證：若方程組之幾何意義為「三平面兩兩相交於一直線，且三直線互相平行」，則\(\Delta=0\)且\(\Delta_x\)、\(\Delta_y\)、\(\Delta_z\)至少有一不為0。
(115高雄中學，https://math.pro/db/thread-4070-1-1.html)

感恩.....

想請教計算第6題
感謝

前人解過，計算題第 1, 4, 6 題：http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2525



我也動手來解一遍~

計算第 6 題：

為了方便計算，小弟把題目修改一下～

把整個拋物線 \(y=x^2-1\) 與點 \((1,2)\) 都上移一單位，

得拋物線 \(y=x^2\) 與點 \(P(1,3)\)

設通過 \(P\) 的直線 \(L\) 會交拋物線 \(y=x^2\) 於 \(A(a,a^2)\) 與 \(B(b,b^2)\)，其中 \(b>a\)，

因為 \(A,P,B\) 三點共線，所以 \(\displaystyle\frac{a^2-3}{a-1}=\frac{b^2-3}{b-1}\Rightarrow \left(b-a\right)\left(ab-a-b+3\right)=0\)

且因為 \(b>a\)，所以 \(ab-a-b+3=0\Rightarrow ab = a+b-3\)

則 \(L\) 與拋物線所圍面積＝\(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left(a^2+b^2\right)\left(b-a\right)-\int_a^b x^2 dx\)

　　　　　　　　　　　　\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left(a^2+b^2\right)\left(b-a\right)-\frac{b^3-a^3}{3}\)

　　　　　　　　　　　　\(=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(b-a\right)^3\)

　　　　　　　　　　　　\(=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(\sqrt{\left(a+b\right)^2-4ab}\right)^3\)

　　　　　　　　　　　　\(=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(\sqrt{\left(a+b\right)^2-4(a+b-3)}\right)^3\)

　　　　　　　　　　　　\(=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(\sqrt{\left(a+b-2\right)^2+8}\right)^3\)

　　　　　　　　　　　　\(\geq\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(\sqrt{8}\right)^3=\frac{8\sqrt{2}}{3}\)

此時，\(a+b=2\Rightarrow ab=-1\) 且由 \(b>a\)，可解得 \(a=1-\sqrt{2}, b=1+\sqrt{2}\)


註： 延伸閱讀～　https://twsf.ntsec.gov.tw/activity/race-1/51/pdf/040414.pdf 【中華民國第 51 屆中小學科學展覽會高中組數學科040414 函數圖形與過定點之弦所圍最小面積】

感謝瑋岳老師解惑

想請問填充第6，求垂心坐標
有比較快的方法嗎?

填充第 6 題
設\(A(1,1,0),B(2,1,-1),C(3,2,-2)\)，則\(\Delta ABC\)的垂心座標為。
[解答]
照定義做就可以了，

由（1）向量 AH內積向量 BC=0  且 （2）向量 BH內積向量 AC=0 且 （3）H 在 ΔABC 所在平面上  

即可得 H 的點坐標。

112.7.1補充
設\(A(0,1,2)\)，\(B(-1,2,1)\)，\(C(1,0,1)\)為空間中的三點，則\(\Delta ABC\)的垂心坐標為　　　。
(112屏東高中，https://math.pro/db/thread-3766-1-1.html)

您好我想請教計算2,3
謝謝解惑!!!