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99松山高中

第 1 題:設 k 為實數,若多項式 f(x) 具有下列性質 f(x+k)=f(x)+2kf(1)=5,則 f(x)=

解答:

f(x+k)=f(x)+2k(x+k)xf(x+k)f(x)=2

y=f(x) 圖形上兩任意動點為 P(xf(x))Q(x+kf(x+k))

PQ 斜率恆為 2,亦即 y=f(x) 的圖形為直線,

且因為 y=f(x) 通過 (15)

所以 f(x)=2x+3

多喝水。

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第 13 題:在 100200 之間隨機選取一個實數 x ,如果 [x]=12 ,則 [100x]=120  的機率為何?
( [x] 表示不大於 x 的最大整數)。

解答:

[x]x[x]+112x13144x169 

[100x]100x[100x]+1120100x1212536x1000014641 

以上兩者交集為空集合

直接可以看出所求機率為 0 ......

多喝水。

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100sqrt(x)改為 10sqrt (x)

第 13 題:我猜題目應該是把100改為10 比較合理
所以題目應該是
在 100 與200 之間隨機選取一個實數 x ,如果 [sqrt(x)]=12 ,則 [10*sqrt(x)]=120  的機率為何?

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第 13 題(修改版):在 100200 之間隨機選取一個實數 x,如果 x=12  ,則 10x=120   的機率為何?

解答:

[x]x[x]+112x13144x169 

[10x]10x[10x]+112010x121144x10014641 

所求機率=P(10x=120x=12)=16914410014641144=2412500

多喝水。

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引用:
原帖由 kittyyaya 於 2011-1-20 01:47 AM 發表
想請教第1題,第13題和第17題,謝謝
也想請教第17題該怎麼做,請問有人會做第17題嗎?

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回復 15# casanova 的帖子

第 17 題:

(1)

設通過原點的直線與 y=x2(3x) 相切於第一象限的切點為 (x0y0),其中 x00y00

y=6x3x2x00y00=6x03x20y0=x20(3x0)

可解得 x0=23f(x0)=49

因此,可得 L 的斜率範圍為 (049)

另解,

L 的斜率為 m ,則

y=mxy=3x2x3x(x23x+m)=0 

因為 Ly=3x2x3 除原點外,尚有兩個位在第一象限的相異交點 PQ

因此,x23x+m=0 有兩相異正實根,由判別式>0且兩根和>0、兩根積>0,

可得 0m49




(2)

L 的斜率為 m,其中 0m49

令題述之 P(x1y1)Q(x2y2)

y=mxy=3x2x3x(x23x+m)=0 

x1+x2=3x1x2=mx1x2=94m 

PQ=94m1+m2 

APQ面積=94m1+m23m01+m221=23(94m)m2 

(再來你可以用微積分求極值,但是我想用算幾不等式~)

因為 0m49,所以 94mm 恆正,

由算幾不等式,可得 3(94m)+2m+2m34(94m)m2(94m)m2427 

因此,APQ面積23427=493 

且當等號成立時,94m=2mm=23

此時,可得 APQ 的最大面積為 493 

多喝水。

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引用:
原帖由 weiye 於 2012-5-14 04:08 PM 發表
第 17 題:

(1)

設通過原點的直線與 y=x2(3x) 相切於第一象限的切點為 (x_0,y_0),其中 x_0>0,y_0>0

\displaystyle y\,'=6x-3x^2\Rightarrow \frac{y_0-0}{x_0-0}=6x_0-3x_0^2 且...
謝謝weiye老師的解答!

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99松山高中

99松山高中
例題  已知146 = {5^2} + {11^2}218 = {7^2} + {13^2},試將 146 \times 218 = 31828
表示成兩個正整數的平方和?
解:
146 \times 218 = {\left( t \right)^2} + {\left( k \right)^2}  t是正整數,k是正整數。

(1)  令 a = 5,b = 11,c = 7,d = 13
\begin{align}   & 146\times 218=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right) \\ & ={{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{d}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{d}^{2}} \\ & =\left\{ {{\left( ac \right)}^{2}}+2\left( ac \right)\left( bd \right)+{{\left( bd \right)}^{2}} \right\}+\left\{ {{\left( ad \right)}^{2}}+2\left( ad \right)\left( bc \right)+{{\left( bc \right)}^{2}} \right\} \\ & ={{\left\{ ac+bd \right\}}^{2}}+{{\left\{ ad-bc \right\}}^{2}} \\ & ={{\left( 5\times 7+11\times 13 \right)}^{2}}+{{\left( 5\times 13-11\times 7 \right)}^{2}} \\ & ={{178}^{2}}+{{\left( -12 \right)}^{2}} \\ \end{align}


答案  17812

想法: 順著題目意思,把5,11,7,13改成a,b,c,d,比較好運算,接著配成完全平方。

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第九題 驗證過這組解也可以得到正確答案
意思是這種問題不只一組解囉??

146 × 218=(5^2+11^2)(7^2+13^2)
=35^2+65^2+77^2+143^2
=(143^2+35^2)+(77^2+65^2)
=[(143-35)^2+2 ×143 ×35]+[(77+65)^2-2 ×77 ×65]
=108^2+142^2

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回復 19# satsuki931000 的帖子

只有 (12,178) 和 (108,142) 這兩組

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