第 1 題：設 k 為實數，若多項式 f(x) 具有下列性質 f(x+k)=f(x)+2k，f(1)=5，則 f(x)=？

解答：

f(x+k)=f(x)+2k(x+k)−xf(x+k)−f(x)=2

令 y=f(x) 圖形上兩任意動點為 P(xf(x))Q(x+kf(x+k))，

則 PQ 斜率恆為 2，亦即 y=f(x) 的圖形為直線，

且因為 y=f(x) 通過 (15)，

所以 f(x)=2x+3

第 13 題：在 100 與200 之間隨機選取一個實數 x ,如果 [x]=12 ，則 [100x]=120  的機率為何?
( [x] 表示不大於 x 的最大整數)。

解答：

[x]x[x]+112x13144x169 ，

[100x]100x[100x]+1120100x1212536x1000014641 

以上兩者交集為空集合

直接可以看出所求機率為 0 ......

第 13 題：我猜題目應該是把100改為10 比較合理
所以題目應該是
在 100 與200 之間隨機選取一個實數 x ,如果 [sqrt(x)]=12 ，則 [10*sqrt(x)]=120  的機率為何?

第 13 題（修改版）：在 100 與 200 之間隨機選取一個實數 x，如果 x=12  ，則 10x=120   的機率為何？

解答：

[x]x[x]+112x13144x169 ，

[10x]10x[10x]+112010x121144x10014641 

所求機率=P(10x=120x=12)=169−14410014641−144=2412500

引用:

原帖由 kittyyaya 於 2011-1-20 01:47 AM 發表
想請教第1題,第13題和第17題,謝謝

也想請教第17題該怎麼做，請問有人會做第17題嗎？

第 17 題：

(1)

設通過原點的直線與 y=x2(3−x) 相切於第一象限的切點為 (x0y0)，其中 x00y00

由 y=6x−3x2x0−0y0−0=6x0−3x20 且 y0=x20(3−x0)

可解得 x0=23f(x0)=49

因此，可得 L 的斜率範圍為 (049)

另解，

設 L 的斜率為 m ，則

y=mxy=3x2−x3x(x2−3x+m)=0 

因為 L 與 y=3x2−x3 除原點外，尚有兩個位在第一象限的相異交點 PQ

因此，x2−3x+m=0 有兩相異正實根，由判別式＞０且兩根和＞０、兩根積＞０，

可得 0m49




(2)

設 L 的斜率為 m，其中 0m49

令題述之 P(x1y1)Q(x2y2)，

則 y=mxy=3x2−x3x(x2−3x+m)=0 

x1+x2=3x1x2=mx1−x2=9−4m 

PQ=9−4m1+m2 

APQ面積=9−4m1+m23m−01+m221=23(9−4m)m2 

（再來你可以用微積分求極值，但是我想用算幾不等式～）

因為 0m49，所以 9−4m 與 m 恆正，

由算幾不等式，可得 3(9−4m)+2m+2m34(9−4m)m2(9−4m)m2427 

因此，APQ面積23427=493 

且當等號成立時，9−4m=2mm=23，

此時，可得 APQ 的最大面積為 493 

引用:

原帖由 weiye 於 2012-5-14 04:08 PM 發表
第 17 題：

(1)

設通過原點的直線與 y=x2(3−x) 相切於第一象限的切點為 (x_0,y_0)，其中 x_0>0,y_0>0

由 \displaystyle y\,'=6x-3x^2\Rightarrow \frac{y_0-0}{x_0-0}=6x_0-3x_0^2 且...

謝謝weiye老師的解答！

99松山高中
例題  已知146 = {5^2} + {11^2}，218 = {7^2} + {13^2}，試將 146 \times 218 = 31828
表示成兩個正整數的平方和？
解:
146 \times 218 = {\left( t \right)^2} + {\left( k \right)^2}  t是正整數，k是正整數。

(1)  令 a = 5,b = 11,c = 7,d = 13

\begin{align}   & 146\times 218=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right) \\ & ={{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{d}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{d}^{2}} \\ & =\left\{ {{\left( ac \right)}^{2}}+2\left( ac \right)\left( bd \right)+{{\left( bd \right)}^{2}} \right\}+\left\{ {{\left( ad \right)}^{2}}+2\left( ad \right)\left( bc \right)+{{\left( bc \right)}^{2}} \right\} \\ & ={{\left\{ ac+bd \right\}}^{2}}+{{\left\{ ad-bc \right\}}^{2}} \\ & ={{\left( 5\times 7+11\times 13 \right)}^{2}}+{{\left( 5\times 13-11\times 7 \right)}^{2}} \\ & ={{178}^{2}}+{{\left( -12 \right)}^{2}} \\ \end{align}

答案  178 與 12

想法: 順著題目意思，把5,11,7,13改成a,b,c,d，比較好運算，接著配成完全平方。

第九題 驗證過這組解也可以得到正確答案
意思是這種問題不只一組解囉??

146 × 218=(5^2+11^2)(7^2+13^2)
=35^2+65^2+77^2+143^2
=(143^2+35^2)+(77^2+65^2)
=[(143-35)^2+2 ×143 ×35]+[(77+65)^2-2 ×77 ×65]
=108^2+142^2

只有 (12，178) 和 (108，142) 這兩組