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第 17 題：
(1)
設通過原點的直線與 y=x2(3−x) 相切於第一象限的切點為 (x_0,y_0)，其中 x_0>0,y_0>0
由 \displaystyle y\,'=6x-3x^2\Rightarrow \frac{y_0-0}{x_0-0}=6x_0-3x_0^2 且 y_0=x_0^2(3-x_0)
可解得 \displaystyle x_0=\frac{3}{2}\Rightarrow f\,'(x_0)=\frac{9}{4}
因此，可得 L 的斜率範圍為 \displaystyle(0,\frac{9}{4})
另解，
設 L 的斜率為 m ，則
\left\{\begin{array}{cc}y=mx\\ y=3x^2-x^3\end{array}\right.\Rightarrow x(x^2-3x+m)=0
因為 L 與 y=3x^2-x^3 除原點外，尚有兩個位在第一象限的相異交點 P,Q
因此，x^2-3x+m=0 有兩相異正實根，由判別式＞０且兩根和＞０、兩根積＞０，
可得 \displaystyle 0<m<\frac{9}{4}
(2)
設 L 的斜率為 m，其中 \displaystyle 0<m<\frac{9}{4}
令題述之 P(x_1,y_1), Q(x_2,y_2)，
則 \left\{\begin{array}{cc}y=mx\\ y=3x^2-x^3\end{array}\right.\Rightarrow x(x^2-3x+m)=0
\Rightarrow x_1+x_2=3, x_1x_2=m\Rightarrow \left|x_1-x_2\right|=\sqrt{9-4m}
\Rightarrow \overline{PQ}=\sqrt{9-4m}\cdot\sqrt{1+m^2}
\displaystyle \Rightarrow \triangle APQ\mbox{面積}=\sqrt{9-4m}\cdot\sqrt{1+m^2}\cdot\frac{\left|3m-0\right|}{\sqrt{1+m^2}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{(9-4m)m^2}
（再來你可以用微積分求極值，但是我想用算幾不等式～）
因為 \displaystyle 0<m<\frac{9}{4}，所以 9-4m 與 m 恆正，
由算幾不等式，可得 \displaystyle \frac{(9-4m)+2m+2m}{3}\geq\sqrt[3]{4(9-4m)m^2}\Rightarrow (9-4m)m^2\leq\frac{27}{4}
因此，\displaystyle\triangle APQ\mbox{面積}\leq \frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{9\sqrt{3}}{4}
且當等號成立時，\displaystyle 9-4m=2m\Rightarrow m=\frac{3}{2}，
此時，可得 \displaystyle\triangle APQ 的最大面積為 \displaystyle\frac{9\sqrt{3}}{4}
