第 1 題：設 \(k\) 為實數，若多項式 \(f(x)\) 具有下列性質 \(f(x+k)=f(x)+2k\)，\(f(1)=5\)，則 \(f(x)=\)？

解答：

\(\displaystyle f(x+k)=f(x)+2k\Rightarrow \frac{f(x+k)-f(x)}{(x+k)-x}=2\)

令 \(y=f(x)\) 圖形上兩任意動點為 \(P(x,f(x)), Q(x+k,f(x+k))\)，

則 \(\overline{PQ}\) 斜率恆為 \(2\)，亦即 \(y=f(x)\) 的圖形為直線，

且因為 \(y=f(x)\) 通過 \((1,5)\)，

所以 \(f(x)=2x+3.\)

第 13 題：在 \(100\) 與\(200\) 之間隨機選取一個實數 \(x\) ,如果 \([\sqrt{x}]=12\)，則 \([100\sqrt{x}]=120\) 的機率為何?
( \([x]\) 表示不大於 \(x\) 的最大整數)。

解答：

\(\displaystyle [\sqrt{x}]\leq \sqrt{x}<[\sqrt{x}]+1\Rightarrow 12\leq\sqrt{x}<13\Rightarrow 144\leq x<169\)，

\(\displaystyle [100\sqrt{x}]\leq 100\sqrt{x}<[100\sqrt{x}]+1\Rightarrow 120\leq 100\sqrt{x}<121\Rightarrow \frac{36}{25}\leq x<\frac{14641}{10000}\)

以上兩者交集為空集合

直接可以看出所求機率為 0 ......

第 13 題：我猜題目應該是把100改為10 比較合理
所以題目應該是
在 100 與200 之間隨機選取一個實數 x ,如果 [sqrt(x)]=12 ，則 [10*sqrt(x)]=120  的機率為何?

第 13 題（修改版）：在 \(100\) 與 \(200\) 之間隨機選取一個實數 \(x\)，如果 \(\left[\sqrt{x}\right]=12\) ，則 \(\left[10\sqrt{x}\right]=120\)  的機率為何？

解答：

\(\displaystyle [\sqrt{x}]\leq \sqrt{x}<[\sqrt{x}]+1\Rightarrow 12\leq\sqrt{x}<13\Rightarrow 144\leq x<169\)，

\(\displaystyle [10\sqrt{x}]\leq 10\sqrt{x}<[10\sqrt{x}]+1\Rightarrow 120\leq 10\sqrt{x}<121\Rightarrow 144\leq x<\frac{14641}{100}\)

所求機率\(\displaystyle=P(\left[10\sqrt{x}\right]=120 \Bigg| \left[\sqrt{x}\right]=12)=\frac{\frac{14641}{100}-144}{169-144}=\frac{241}{2500}.\)

引用:

原帖由 kittyyaya 於 2011-1-20 01:47 AM 發表
想請教第1題,第13題和第17題,謝謝

也想請教第17題該怎麼做，請問有人會做第17題嗎？

第 17 題：

(1)

設通過原點的直線與 \(y=x^2(3-x)\) 相切於第一象限的切點為 \((x_0,y_0)\)，其中 \(x_0>0,y_0>0\)

由 \(\displaystyle y\,'=6x-3x^2\Rightarrow \frac{y_0-0}{x_0-0}=6x_0-3x_0^2\) 且 \(y_0=x_0^2(3-x_0)\)

可解得 \(\displaystyle x_0=\frac{3}{2}\Rightarrow f\,'(x_0)=\frac{9}{4}\)

因此，可得 \(L\) 的斜率範圍為 \(\displaystyle(0,\frac{9}{4})\)

另解，

設 \(L\) 的斜率為 \(m\) ，則

\(\left\{\begin{array}{cc}y=mx\\ y=3x^2-x^3\end{array}\right.\Rightarrow x(x^2-3x+m)=0\)

因為 \(L\) 與 \(y=3x^2-x^3\) 除原點外，尚有兩個位在第一象限的相異交點 \(P,Q\)

因此，\(x^2-3x+m=0\) 有兩相異正實根，由判別式＞０且兩根和＞０、兩根積＞０，

可得 \(\displaystyle 0<m<\frac{9}{4}\)




(2)

設 \(L\) 的斜率為 \(m\)，其中 \(\displaystyle 0<m<\frac{9}{4}\)

令題述之 \(P(x_1,y_1), Q(x_2,y_2)\)，

則 \(\left\{\begin{array}{cc}y=mx\\ y=3x^2-x^3\end{array}\right.\Rightarrow x(x^2-3x+m)=0\)

\(\Rightarrow x_1+x_2=3, x_1x_2=m\Rightarrow \left|x_1-x_2\right|=\sqrt{9-4m}\)

\(\Rightarrow \overline{PQ}=\sqrt{9-4m}\cdot\sqrt{1+m^2}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \triangle APQ\mbox{面積}=\sqrt{9-4m}\cdot\sqrt{1+m^2}\cdot\frac{\left|3m-0\right|}{\sqrt{1+m^2}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{(9-4m)m^2}\)

（再來你可以用微積分求極值，但是我想用算幾不等式～）

因為 \(\displaystyle 0<m<\frac{9}{4}\)，所以 \(9-4m\) 與 \(m\) 恆正，

由算幾不等式，可得 \(\displaystyle \frac{(9-4m)+2m+2m}{3}\geq\sqrt[3]{4(9-4m)m^2}\Rightarrow (9-4m)m^2\leq\frac{27}{4}\)

因此，\(\displaystyle\triangle APQ\mbox{面積}\leq \frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{9\sqrt{3}}{4}\)

且當等號成立時，\(\displaystyle 9-4m=2m\Rightarrow m=\frac{3}{2}\)，

此時，可得 \(\displaystyle\triangle APQ\) 的最大面積為 \(\displaystyle\frac{9\sqrt{3}}{4}\)

引用:

原帖由 weiye 於 2012-5-14 04:08 PM 發表
第 17 題：

(1)

設通過原點的直線與 \(y=x^2(3-x)\) 相切於第一象限的切點為 \((x_0,y_0)\)，其中 \(x_0>0,y_0>0\)

由 \(\displaystyle y\,'=6x-3x^2\Rightarrow \frac{y_0-0}{x_0-0}=6x_0-3x_0^2\) 且...

謝謝weiye老師的解答！

99松山高中
例題  已知\(146 = {5^2} + {11^2}\)，\(218 = {7^2} + {13^2}\)，試將 \(146 \times 218 = 31828\)
表示成兩個正整數的平方和？
解:
\(146 \times 218 = {\left( t \right)^2} + {\left( k \right)^2}\)  \(t\)是正整數，\(k\)是正整數。

(1)  令 \(a = 5,b = 11,c = 7,d = 13\)
\[\begin{align}
  & 146\times 218=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right) \\
& ={{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{d}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{d}^{2}} \\
& =\left\{ {{\left( ac \right)}^{2}}+2\left( ac \right)\left( bd \right)+{{\left( bd \right)}^{2}} \right\}+\left\{ {{\left( ad \right)}^{2}}+2\left( ad \right)\left( bc \right)+{{\left( bc \right)}^{2}} \right\} \\
& ={{\left\{ ac+bd \right\}}^{2}}+{{\left\{ ad-bc \right\}}^{2}} \\
& ={{\left( 5\times 7+11\times 13 \right)}^{2}}+{{\left( 5\times 13-11\times 7 \right)}^{2}} \\
& ={{178}^{2}}+{{\left( -12 \right)}^{2}} \\
\end{align}\]

答案  \(178\) 與 \(12\)

想法: 順著題目意思，把\(5,11,7,13\)改成\(a,b,c,d\)，比較好運算，接著配成完全平方。

第九題 驗證過這組解也可以得到正確答案
意思是這種問題不只一組解囉??

\(146 × 218=(5^2+11^2)(7^2+13^2)\)
\(=35^2+65^2+77^2+143^2\)
\(=(143^2+35^2)+(77^2+65^2)\)
\(=[(143-35)^2+2 ×143 ×35]+[(77+65)^2-2 ×77 ×65]\)
\(=108^2+142^2\)

只有 (12，178) 和 (108，142) 這兩組