在xy座標平面上,由不等式〔x平方〕＋〔y平方〕≦1所圍成區域的面積為何?
(其中〔 〕表示高斯符號)

題目：在 xy 座標平面上,由不等式 x2+y21  所圍成區域的面積為何?

(其中   表示高斯符號)



解答：

因為 x 以 −x 帶入不等式相同，

所以圖形對稱 x 軸，

同理圖形亦對稱 y 軸，

所以只畫第一象限，算出面積再乘以四倍即可。




設 x0y0，

i. 當 0x1 時，0y2 。

ii. 當 1x2  時，0y1。

畫出第一象限的所圍區域如下，

算出在第一象限的面積，再乘以四倍就是答案。




註：感謝 bugmens 告知題目的出處：2000 TRML個人賽

例  求 31+32+322+  32100=  的值? 其中a 表示不超過a的最大整數
解
(1) 先求1+2+22+    +2100=2101−1

(2) 31+2+22+    +2100=312101−1 

(3) 31+32+322+  32100= 

因為取了高斯函數後，都是整數相加，求和的值會變小

第一項 扣  31 ，第二項 扣 32  ，第三項 扣 31
第四項 扣 32 ................
由此規律加上同餘理論 奇數項 扣 31
                                   偶數項 扣 32

奇數項共51項，偶數項共50項
3151+3250=3151

(4) 31+32+322+  32100=312101−31−3151=312101−152 

112.1.6補充
求31+32+322++32100 之值，其中a 表示不超過a的最大整數。
(109高雄市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3338&page=1#pid21314)

設[x]表示不超過x的最大整數，則31+321+322+323++322024 的末兩位數為　　　。
(112基隆女中第二次，https://math.pro/db/thread-3803-1-1.html)

請問一下，那下面的問題如何解答?
設n>0，則 \displaystyle \left[ \frac{n+1}{2} \right]+\left[ \frac{n+2}{2^2} \right]+\ldots+\left[ \frac{n+2^{k-1}}{2^k} \right]+\ldots= ？

103 鳳新高中 #2 有神解

如果 n \in \mathbb N ，則和為 n

如果只是 n > 0 ，那應該是 [n] ，小數的部分沒作用

真的太神了~~~~~~~~~~~~~~~~~~謝謝!!