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幾題考題請教

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幾題考題請教

各位老師好:
最近在練習題目時有幾題題目想了很久,有想法,但都還是無法完全做出來。
題目如附加檔案。(不好意思,不太會用直接在網站上敲數學式子 ><)
第2題我證明出來最後差個負號,整理不出來。
第4題想使用錯排原理去解題,但是答案相去甚遠。但又不知道錯排這個方法盲點在哪。

請各位老師有空時不吝賜教,謝謝各位老師。

1.三角形ABC,∠A的內角平分線\( \overline{AT} \)交\( \overline{BC} \)於T點,試證\( \overline{AT}=\sqrt{\overline{AB}\cdot \overline{AC}-\overline{BT}\cdot \overline{CT}} \)[98新港藝術高中]

2.\( a>b \),試證:雙曲線\( b^2 x^2-a^2 y^2=a^2 b^2 \)互相垂直的二切線的交點必在圓\( x^2+y^2=a^2-b^2 \)
[98新港藝術高中]

3.有兩射線\( \overline{OX} \),\( \overline{OY} \)夾角\( 60^o \),P為∠XOY內部一點,\( \overline{OP}=10 \),今欲在\( \overline{OX} \)上取一點A,\( \overline{OY} \)上取一點B,使△PAB之周長最小,若△PAB之最小周長為t,則(A)\( 16<t<17 \) (B)\( 17<t<18 \) (C)\( 18<t<19 \) (D)\( 19<t<20 \)
[98全國聯招]

4.將5個A,5個B,5個C,共15個字母排成一列,使得前5個位置不排A,中間5個位置不排B,最後五個位置不排C,排法有幾種

5.柔道擂台賽,比賽過程是:甲、乙二隊各出7名隊員按事先安排的順序出場比賽,雙方先由1號隊員出賽,負者遭淘汰;負方再派2號出場迎戰勝方的1號,L以此類推,直至一方7名隊員全被淘汰為止,另一方獲勝。所有可能出現的比賽過程的個數為[93學年度高中數學能力競賽中區(嘉義高中) 筆試(二)試題]

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-22 09:04 PM 編輯 ]

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第一題:利用內分比性質,加上餘弦定理,就可以證明出來了。

    善用餘弦定理,其實也可以證個較廣義的 Stewart's theorem,如下

    對於 \(\triangle ABC\),\(\overline{BC}\) 上任取一點 \(T\),

    可以證明:\(\displaystyle \overline{AT}^2=\frac{\overline{AC}^2\overline{BT}+\overline{AB}^2\overline{CT}}{\overline{BT}+\overline{CT}}-\overline{BT}\times \overline{CT}.\)




第二題:方法同 https://math.pro/db/thread-723-1-2.html



第三題:將 \(P\) 對稱 \(\overrightarrow{OX}\)、\(\overrightarrow{OY}\) 分別得 \(P_1, P_2\),

    則 \(t= \overline{P_1P_2}\) 且 \(\angle P_1OP_2=120^\circ\),

    利用餘弦定理,可得 \(t^2=10^2+10^2-2\times10\times10\cos120^\circ \Rightarrow t=10\sqrt{3}.\)



第四題:https://math.pro/db/thread-454-1-3.html



第五題:http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=15133

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2009-11-13 21:59

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