101 台中一中

As title


101.4.29版主補充
以下資料供以後考生參考：

初試最低錄取分數 47分
取13名參加複試，錄取2名
61,61,55,55,52,52,51,51,49,48,48,47,47

其他，

40~46分 18人
30~39分 42人
20~29分 73人
10~19分 67人
0~9分   36人

共計 249 人

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-4-29 03:46 PM 編輯 ]

1.
計算20k=1k4 之值。
[解答]
f(0)=0，f(1)=1，f(2)=14+24=17，f(3)=14+24+34=98，f(4)=14+24+34+44=354
f(5)=14+24+34+44+54=979，f(6)=14+24+34+44+54+64=2275

f(0)01f(1)1151650f(2)1765608111024f(3)9817584256194  24f(4)354369108625302f(5)9796711296f(6)2275
f(n)=0C0n+1C1n+15C2n+50C3n+60C4n+24C5n

5.
設xyzR，且x+y+z=2，x2−yz=4，求xy+3yz+zx的最大值。

已知x、y、z為實數，且x+y+z=2，2x2−yz=4，若xy+yz+zx之最大值為M，最小值為m，求數對(Mm)=？
(100建國中學二招)

6.
△ABC，∠C=90o，AB邊上的三等分點D,E，且AD=DE=EB，已知CD=3，CE=4，求AC。

直角△ABC中，∠C=90o，AD=DE=EB。已知CD=7，CE=9，則DE=？
(高中數學101　P129)

△ABE中，∠BAE=90o，C、D為邊BE上的三等分點，令BC=CD=DE=a， \overline{AC}=7 ， \overline{AD}=9 ，求a？
(99育成高中，https://math.pro/db/redirect.php?tid=1094)

三角形ABC中， ∠C=90^o ，D、E為 \overline{AB} 之三等分點，且 \overline{CD}=sinX ， \overline{CE}=cosX ， 0^o<X<90^o ， \overline{AB}= ？
(97全國高中聯招)

7.
△ABC，若 \vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}=\vec{0} ，且 \overline{PA}=3 ， \overline{PB}=4 ， \overline{PC}=5 ，求△ABC的面積。

已知三角形三中線分別為10，12，14，則此三角形的面積為多少？
(A) 32 \sqrt{6} 　(B) 30 \sqrt{5} 　(C) 36 \sqrt{3} 　(D) 40 \sqrt{2}
(99南台灣國中聯招)

已知△ABC的三條中線長為7,8,9，則△ABC的面積？
(100高師大附中，https://math.pro/db/thread-1286-1-1.html)

10.
在圓上任取12個點，兩兩相連所得的直線，最多將此圓內區域分割成為幾個區域。

11.
設數列 \langle\; a_n \rangle\; 滿足 a_1=2 且 \displaystyle a_n=\frac{2a_{n-1}+1}{a_{n-1}+2} ， \forall n \ge 2 ，求一般項 a_n (以n表示)。

這類題目還不會算嗎？趕快去數學傳播找那篇文章來看吧
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434

12.
若 \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2} ，當 \displaystyle \frac{1}{\sqrt{sinx}}+\frac{2}{\sqrt{cosx}} 有最小值時，求此時 log_2(tanx) 值。

若 \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2} ，求 \displaystyle \frac{1}{\sqrt{sinx}}+\frac{32}{\sqrt{cosx}} 的最小值？
(96台南女中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=24076)
(我的教甄準備之路－廣義的科西不等式，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075)

13.
魯夫航行於A、B、C、D、E五座島嶼之間。每日清晨魯夫隨機前往任一其他島嶼並留宿該島的機率均為0.25。若第一天清晨魯夫從A島出發，設第n天晚上魯夫留宿於A島的機率為 P_n 。求滿足 \displaystyle \Bigg\vert\; P_n-\frac{1}{5} \Bigg\vert\; \le 10^{-9} 之最小n值。

一隻青蛙在ABCDE五點上跳動，每次落點異於跳點，假設從A出發，跳n次後仍回到A之跳法有 a_n 種，若 a_n=k a_{n-1}+m a_{n-2} (n \ge 3) ，k,m為常數，求數對 (k,m)= ？
(99台中一中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=929&page=2#pid2318)

14.
將n顆球，全部投入5個箱中，每球投入每箱的機率均為0.2，若已知空箱期望值小於0.1，求n最小值。
https://math.pro/db/thread-690-1-1.html

15.
正整數a,b,c滿足 a \cdot b \cdot c=420 ，考慮集合 S=\{\;a,b,c \}\; ，問集合S的所有可能有幾種。

感謝thepiano提供解答
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2786

設a,b,c為相異正整數,則滿足 abc=2310 之集合S={a,b,c}有幾個？
For how many three-element sets of positive integers {a,b,c} is it true that abc=2310?
(A)32　(B)36　(C)40　(D)43　(E)45
(1995AMC12，高中數學101 P4，95台中家商，97家齊女中，113大直高中)

求 xyz=360 有幾組整數解？
(99文華高中，https://math.pro/db/thread-924-1-5.html)

18.
考慮正整數n的所有正整數分割，將其分割乘積的最大值定義為 f(n) ，
[例： 1+1+1+1=2+1+1=3+1=2+2=4 ，
( 1 \times 1 \times 1 \times 1 )<( 2 \times 1 \times 1 )<( 3 \times 1 )<( 2 \times 2 )=(4)，
得 f(4)=4 ]。問 f(2012) (以十進位表示)是幾位數。

將2008分解成一些正整數之和，使得這些正整數之乘積有最大值，求這最大值，並加以證明。
(97高中數學能力競賽台南區筆試一，https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)

20.
實係數多項式 f(x) ，若 deg f(x)=2010 ，且 \displaystyle f(k)=\frac{2k+1}{k} ， \forall k=1,2,3,...,2011 ，求 \displaystyle \sum_{k=0}^{2011}\{\; C_k^{2012}\cdot (-1)^k \cdot f(k+1) \}\; 值。
更多相同類型的題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-30 10:26 PM 編輯 ]

#20
答案應該是 -2吧
我還有用數學軟體驗算過
還有不明白題目為什麼要加deg f(x)=2010這條件?

20 題

用巴貝琪定理，所求即為 f(2013) (有沒有差負，和它不熟)

給 2011 個值， deg 2010 ，恰好能唯一決定，該多項式，否則就不唯一唯了

橢圓兄是否題目看錯了什麼，Sigma 中有一項有 f(2012) 是題目沒給的

應該無法直接用軟體驗算

對喔! 剛剛有看到了
f(2012)沒有給
感謝您~

補上計算...

xf(x)=2x+1\Rightarrow g(x)=xf(x)-(2x+1)=c\prod_{k=1}^{\infty}(x-k)\Rightarrow f(x)=\frac{c\prod_{k=1}^{2011}(x-k)+1}{x}+2 , for x\neq 0

又 f 在 0 連續，所以 c=\frac{1}{2011!}

由差分，或巴貝琪定理，所求即 -f(2013)=-\frac{\frac{1}{2011!}2012!+1}{2013}-2=-1-2=-3

有計算錯誤的話，麻煩指正一下

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-4-29 10:21 AM 編輯 ]

#16
假設在一個圓內以圓心O向外(輻射狀)做出n個扇形(不重疊,且將圓分割完),
題目的p(n)相當於用6種不同顏色塗上述n個區域,相鄰區域塗不同顏色的機率

p(n)= [(6-1)^n +(-1)^n*(6-1)]/6^n = [5^n +5*(-1)^n*]/6^n
6*p(n+1)=[5^(n+1) +5*(-1)^(n+1)]/6^n
所求=p(n)+6*p(n+1)
=6*5^n / 6^n
=5^n/6^(n-1)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-4-29 12:33 PM 編輯 ]

#18
假設a1+a2+.......+an=2012
可以證明ai(i=1,2,.....n)用2或3乘積最大(用其它正整數,乘積不會有最大值)
又2+2+2=3+3
但是2*2*2<3*3
用三個2與兩個3其和不變,但用兩個3乘積變大
所以2的數量不會超過兩個
又2012/3=670......2
因此將2012寫成3+3+..............+3+2 (3有670個)
則A=2*3^670乘積最大
LogA=Log2 +670*Log3=319........
所以A為319+1=320位數

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-4-29 12:49 PM 編輯 ]

1~21解法(缺17,19)

[ 本帖最後由 shiauy 於 2012-5-5 09:54 PM 編輯 ]

計算題我只會四種課本兩種，
第一，用兩個參數，然後分別與兩線方向內積為0，聯立求解。
第二，找一個包含L1且與L2平行的平面，然後變成求點到平面距離。
啊!!不是徐氏，是陸思明教的
第三種，在L1和L2上各取一點A和B，外積求兩直線公垂向量，距離即是AB向量在公垂方向的正射影長。

第四種，只設一個參數，然後計算到另一條直線的距離，找最小值。

有人可以教教還有其他方法嗎??
難道要用雙變數微積分??

[ 本帖最後由 老王 於 2012-4-29 10:28 PM 編輯 ]