100鳳山高中

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學校在7月2日公佈.....囧.....
還好被我抓到
如附件
請各位參照!

我想問公佈板的題目 第3題

感謝八神庵過了這麼久還記得去學校網站留意有沒有公佈題目
否則校方一拿掉公告這份題目就失傳了

2.
袋中有1,2,...,9號球各一個，每次自袋中取出一球，取後放回，共取n次，n次和為偶數的機率記為\( P_n \)，
求(1)\( P_{n+1} \)及\( P_n \)之關係式？　(2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n= \)？

不透明箱內有編號分別為1至9的九個球，每次隨機取出一個，紀錄其編號後放回箱內；以\( P_n \)表示前n次取球的編號之總和為偶數的機率。
求\( P_n= \)？(以n表示)
(99鳳新高中，https://math.pro/db/thread-974-1-2.html)
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4089#p4089

一袋中有5個球，分別寫上1、2、3、4、5號，今由其中任取一球記下其號碼後放回袋中，如此繼續n次，若\( P_n \)表紀錄到n次數字和為偶數的機率，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2}-P_n)= \)？
(100中科實中，https://math.pro/db/thread-1107-1-1.html)


3.
利用最小平方法得到二維數據\( (x_1,y_1) \),\( (x_2,y_2) \),...,\( (x_n,y_n) \),y對x的迴歸直線為\( y=a+bx \)，
另一組二維數據\( (u_1,v_1) \),\( (u_2,v_2) \),...,\( (u_n,v_n) \)是透過\( u=c+dx \)，\( v=e+fy \)所得到的，
已知\( a,b,c,d,e,d \)為定值，求v對u的迴歸直線方程式？
[答案]
\( \displaystyle y=(fa+e-\frac{bcd}{d})+\frac{bf}{d}x \)


7.
求方程式\( \displaystyle \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}}=y \)，
x，y的非負整數解，其中共有2011個√，且√指正根而言。

Find all possible integer solutions for \( \sqrt{x+\sqrt{x...(x+\sqrt{x}...)}}=y \), where there are 1998 square roots.
連結已失效h ttp://www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/r41-50.html


補個類似題
試求方程\( x=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+x}}} \)的所有的正根？

試求方程：\( x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}} \)的根。
(初中數學競賽教程P353)

101.4.30補充
設\( [\; x ]\; \)表示不大於x最大整數，例如：\( [\; 3 ]\;=3 \)，\( [\; 2.3 ]\;=2 \)，\( [\; -2.5 ]\;=-3 \)，則
\( \displaystyle \Bigg[\; \sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+...+2010}}}} \Bigg]\; \)之值為何？
(其中共有2010個2010)
(建中通訊解題第82期)
[解答]
定義數列，\(a_{n+1}=\sqrt{2010+a_n}\)，\(a_1=\sqrt{2010}\)
\(\Rightarrow 44<a_1<45 \Rightarrow 45<\sqrt{2055}<\sqrt{2010+a_1}<\sqrt{2056}<46\Rightarrow 45<a_2<46\)
繼續如此的步驟
\(\Rightarrow 45<a_3<46 \Rightarrow 45<a_4<46 \Rightarrow \ldots \Rightarrow 45<a_{2010}<46\)
故所求\(=[a_{2010}]=45\)

113.4.10補充
令\( \displaystyle x=\sqrt{2024+\sqrt{2024\ldots+\sqrt{2024+\sqrt{2024+\sqrt{2024}}}}} \)，其中2024共出現2024次，則\([x]=\)　　　。
註：\([x]\)表示小於或等於\(x\)的最大整數。
(113北一女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3828&page=1#pid25679)

請教一下
這份考題有答案嗎?
小弟我沒找到，有的可以分享一下嗎?
謝謝!

老師您好，請問第10題應該要如何著手呢??

三正數a,b,c，a+b+c=3的那一題，謝謝老師。

這裏有類題…還是謝謝這一版…。
https://math.pro/db/thread-1128-1-1.html


借用那邊算的結果答案為3/2…。

好像也可用猜的…a=b=c=1代入求解…。

[ 本帖最後由 peter579 於 2011-7-18 03:55 PM 編輯 ]

請問#3(問迴歸直線方程式)的答案斜率不必分正負嗎? 不過我算出來的常數項也算錯就是了,所以想請教一下該怎麼算?
還有也想問一下#12的證明該怎麼寫,謝謝

[ 本帖最後由 pizza 於 2012-2-27 05:19 PM 編輯 ]

第 3 題：

設 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的算術平均數為 \(\overline{x}\)，標準差為 \(S_x\)，

　 \(y_1,y_2,\cdots,y_n\) 的算術平均數為 \(\overline{y}\)，標準差為 \(S_y\)，

　 \(u_1,u_2,\cdots,u_n\) 的算術平均數為 \(\overline{u}\)，標準差為 \(S_u\)，

　 \(v_1,v_2,\cdots,v_n\) 的算術平均數為 \(\overline{v}\)，標準差為 \(S_v\)，

　 \(X\) 與 \(Y\) 的相關係數為 \(r_{XY}\)，\(U\) 與 \(V\) 的相關係數為 \(r_{UV}\)，


＜＜先來看看已知蝦咪＞＞

因為 \(y\) 對 \(x\) 的迴歸直線為 \(y=a+bx\)，

所以 \(\overline{y}=a+b\overline{x}\) 且 \(\displaystyle b=r_{XY}\cdot\frac{S_y}{S_x}\)



＜＜再來看看最後是找出來蝦咪東西，寫過程的時候這一塊通常反而是會很後面才說～＞＞
｜
｜　　\(v\) 對 \(u\) 的迴歸直線必通過 \((\overline{u},\overline{v})\)，
｜
｜　　且其斜率為 \(\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}\)
｜
└──────────────────────────＜其實這塊只是在思考接下來要怎樣走～不用寫啦＞


＜＜好吧，要把這兩者扯再一起了～＞＞

因為 \(u=c+dx\)，所以 \(\displaystyle \overline{u}=c+d\overline{x}\Rightarrow \overline{x}=\frac{\overline{u}-c}{d}\)

因為 \(v=e+fy\)，所以 \(\displaystyle \overline{v}=e+f\overline{y}\Rightarrow \overline{y}=\frac{\overline{v}-e}{f}\)

因為 \(\overline{y}=a+b\overline{x}\)，所以 \(\displaystyle \frac{\overline{v}-e}{f}=a+b\left(\frac{\overline{u}-c}{d}\right)\)　　　───（＊）

且

\(\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{df}{|df|}r_{XY}\cdot\frac{|f|S_y}{|d|S_x}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle =\frac{df}{|d|^2}\cdot r_{XY}\cdot\frac{S_y}{S_x}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle =\frac{f}{d}\cdot b\)



＜＜再來招喚剛剛思考的那塊～＞＞

因為 \(v\) 對 \(u\) 的迴歸直線必通過 \((\overline{u},\overline{v})\)，

且其斜率 \(\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{f}{d}\cdot b\)

因此，\(v\) 對 \(u\) 的迴歸直線為

\(\displaystyle v-\overline{v}=\frac{f}{d}\cdot b(u-\overline{u})\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-\overline{v}}{f}=\frac{b}{d}(u-\overline{u})\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{(v-e)-(\overline{v}-e)}{f}=\frac{b}{d}\left((u-c)-(\overline{u}-c)\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-\frac{\overline{v}-e}{f}=\frac{b(u-c)}{d}-\frac{b(\overline{u}-c)}{d}\)

將（＊）帶入可得

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-a=\frac{b(u-c)}{d}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}\)

結束。





然後，下次如果是考填充題，那就～

把 \(\displaystyle u=c+dx, v=e+fy\Rightarrow x=\frac{u-c}{d}, y=\frac{v-e}{f}\) 帶入 \(y=a+bx\)

即可得 \(\displaystyle \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}\)

第 12 題：

已知 \(p(0)=a_0\) 為奇數，且 \(p(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\) 亦為奇數，

假設 \(p(x)=0\) 有整數根 \(\alpha\)，

若 \(\alpha\) 為偶數，則

　　\(p(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0\equiv a_0\equiv 1\pmod{2}\)

　　\(\Rightarrow p(\alpha)\not\equiv0\pmod2\) 此與 \(p(\alpha)=0\) 互相矛盾。

若 \(\alpha\) 為奇數，則

　　\(p(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0\)

　　　　　　　　\(\equiv a_n\cdot1^n+a_{n-1}\cdot1^{n-1}+\cdots+a_1\cdot1+a_0\)

　　　　　　　　\(\equiv a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0 \equiv 1\pmod{2}\)

　　\(\Rightarrow p(\alpha)\not\equiv0\pmod2\) 此與 \(p(\alpha)=0\) 互相矛盾。

因此，\(p(x)=0\) 既無偶數根，亦無奇數根，

可得 \(p(x)=0\) 無整數根。