99高雄市聯招

剛打完,請各位慢慢欣賞
考古題超多的....

(感謝bugmens大提供PTT網友的指正!990712)

感謝八神庵提供題目
其他的討論請見　http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3902


1.求值\( \displaystyle \frac{9^{\frac{1}{1001}}}{9^{\frac{1}{1001}}+3}+\frac{9^{\frac{2}{1001}}}{9^{\frac{2}{1001}}+3}+...+\frac{9^{\frac{1000}{1001}}}{9^{\frac{1000}{1001}}+3} \)

\( \displaystyle \frac{\pi^{\frac{1}{99}}}{\pi^{\frac{1}{99}}+\sqrt{\pi}}+\frac{\pi^{\frac{2}{99}}}{\pi^{\frac{2}{99}}+\sqrt{\pi}}+...+\frac{\pi^{\frac{98}{99}}}{\pi^{\frac{98}{99}}+\sqrt{\pi}} \)
(95台中高農，http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41421)


9.在直徑12公分的半球形容器內裝滿水，將此容器傾斜\( 30^o \)，求流出去的水量為多少立方公分？

將半徑為a的半球體容器裝滿了水，今慢慢的將之傾斜\( \displaystyle \frac{\pi}{6} \)，則流出水量之體積=？
(93國立大里高中)

在半徑為6的半球容器內裝滿水，若將此容器輕輕傾斜\( 30^o \)，求流出的水量。
(98清水高中，https://math.pro/db/thread-836-1-1.html)

10.設a,b,c為△ABC之三邊長，試證\( \displaystyle \frac{1}{b+c-1}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c} \ge \frac{9}{a+b+c} \)
96新竹女中，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1254


12.試解聯立方程式\( \cases{x+y=5 \cr x^4+y^4=97} \)
95中壢高中，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=555

首先謝謝八神庵辛苦的打字

想請問各位老師第14題如何下手

第 14 題：
有七個火柴盒，圍成一圓圈，如圖（請見首篇的附加檔案）所示，長方形框框表示火柴盒，框框內的數字表示該火柴盒內所裝火柴數，現在想搬動各盒中的一些火柴至相鄰的火柴盒中，每次搬一根，最後使每一盒火柴盒內的火柴數相等，則搬動次數最少為幾次？



把各位置都扣掉平均數之後，

我的移動方式如下（取最短移動路徑，且不出現同一線段有互逆的箭頭。）



移動次數為 \(\left(4+3+1+7\right)\times1+\left(1+2\right)\times3=24\) 次。

絕對值函數
h　ttp://kmath.0fees.net/classroom/exercise/ex001.doc

102.5.23補充
連結已經失效，將檔案重新上傳到math pro。

原來如此，感謝！ ^_^

19.已知複數\( z_1 \)，\( z_2 \)滿足以下條件：\( |\ z_1+z_2 |\ =\sqrt{3} |\ z_1 |\ \)，且
\( \displaystyle 0<Arg(\frac{z_1+z_2}{z_1})=Arg(\frac{z_2}{z_1+z_2})<\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{z_2}{z_1}= \)？
[補充]
PTT有代數的解法，這裡補充幾何的解法

令\( \displaystyle \frac{z_2}{z_1}=Z \)　，　\( \displaystyle \frac{z_1+z_2}{z_1}=1+Z \)　，　\( \displaystyle \frac{z_2}{z_1+z_2}=\frac{Z}{1+Z} \)
\( \displaystyle |\ 1+\frac{z_2}{z_1} |\ =\sqrt{3} \)　，　\( 1+Z \)的絕對值為\( \sqrt{3} \)
\( \displaystyle 0<Arg(\frac{z_1+z_2}{z_1})<\frac{\pi}{2} \)　，　設\( 1+Z \)的主幅角為\( \theta \)

在複數平面上以A點代表1+Z，\( \overline{OA}=\sqrt{3} \)，向左平移1的B點代表Z，C點代表\( \displaystyle \frac{Z}{1+Z} \)

根據極式的相除運算，\( \displaystyle \frac{Z}{1+Z} \)的主幅角為Z和1+Z的主幅角相減
\( ∠COX=∠BOX-∠AOX \)　，　\( \theta=∠BOX-\theta \)　，　\( ∠BOX=2 \theta \)　，　\( ∠BOA=\theta \)

故△AOB為等腰三角形　，　\( \overline{AB}=\overline{BO}=1 \)　，　\( \overline{AO}=\sqrt{3} \)，得\( \theta=30^o \)
\( \displaystyle \frac{z_2}{z_1}=1(cos60^o+i sin60^o)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \)

103.02.20補充
當初的PTT文章可以到https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid7411
下載 PTT歷屆教甄試題.rar (204.46 KB)，其中 99高雄市聯招.html 就是代數解法

一袋中有6顆黑球，2顆白球，從袋中一次取一球，每一球被取出的機會均等，取後不放回，一直取到出現白球為止，則取出黑球個數的期望值為何？

第 18 題：一袋中有 \(6\) 顆黑球，\(2\) 顆白球，從袋中一次取一球，每一球被取出的機會均等，取後不放回，一直取到出現白球為止，則取出黑球個數的期望值為何？

解一：

取出黑球個數為 \(k\) 的機率是 \(\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{(7-k)!}{(6-k)!1!}}{\displaystyle\frac{8!}{6!2!}}\)（其中 \(k=0,1,2,3,4,5,6\)），


所求期望值為 \(\displaystyle\sum_{k=0}^{6} k\cdot \frac{\displaystyle\frac{(7-k)!}{(6-k)!1!}}{\displaystyle\frac{8!}{6!2!}}=\sum_{k=0}^{6}\frac{k(7-k)}{28}=2.\)


（數字不大，直接算也還算快！：Ｐ）


解二：

先把 \(2\) 顆白球排一直線，再將 \(6\) 顆黑球「平均分配」到兩顆白球所形成的三個空隙，

由左至右一路取球，至首次取到白球時，取出黑球的個數為 \(2\)，此即為答案。

（解二的想法請參考 https://math.pro/db/thread-976-1-1.html 的第八題。）




註：原本把題目的「一直取到出現白球為止」誤看成「到白求取完為止」，感謝 waitpub 於後方回覆的提醒，本文已修改成正確的答案！

謝謝!