99嘉義高工

題目和答案如附件

美夢成真教甄討論文章
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1550

1.若有一正k邊形其頂點依序為A、B、C、D...滿足\( \displaystyle \frac{1}{\overline{AB}}=\frac{1}{\overline{AC}}+\frac{1}{\overline{AD}} \)，則k=？
(1999TRML團體賽)


2.方程式\( \displaystyle (x+7)^{\frac{1}{3}}-(x-7)^{\frac{1}{3}}=2 \)，則得實根中較大者為？

方程式\( \displaystyle \root 3 \of {8+x}+ \root 3 \of {8-x}=1 \)的解為？
(93高中數學能力競賽複賽　第二區筆試二試題)
連結已失效h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2005_Taiwan_High_Taipei_02.pdf

設x為滿足\( \displaystyle \root 3 \of {x+10}- \root 3 \of {x-10}=2 \)的正數，試求x之值？
(2003TRML個人賽)

108.4.27補充
方程式\((x+7)^{\frac{1}{3}}-(x-7)^{\frac{1}{3}}=2\)，則解方程式得實根中較小者為　　　
(108中科實中，https://math.pro/db/thread-3122-1-1.html)


7.設\( f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d \)為一實係數多項式，已知\( f(x)=0 \)沒有實根，設\( r_1 \)，\( r_2 \)，\( r_3 \)，\( r_4 \)為\( f(x)=0 \)的四個複數根，且\( r_1+r_2=3-i \)，\( r_3 \cdot r_4=4+3i \)，其中\( i=\sqrt{-1} \)，則\( a+b+c+d= \)？
相關問題https://math.pro/db/thread-456-1-1.html

14.一袋中有三個紅球，四個綠球，五個白球，每球被取機率相同，每次取一球，取後不放回，紅球最先被取完的機率為？

h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781#17　連結已失效
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43871
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43062
袋中有紅球4個，白球5個，黑球6個，每次由袋中取一球不放回，則紅球最先取完之機率
(高中數學101 P301)

秘奧義--->考古題大搜查
第3題(數據改不了?)
第7題(類似題一大堆)
第14題(類似題一堆)
第15題(類似題也一堆)
最後一題更與97下彰女填11題幾乎相似

請問各位版大一下
1、5、11、12
可以給點提示嗎??

還有第13題只能慢慢排嗎??

謝謝

1.
若有一正\(k\)邊形其頂點依序為\(A、B、C、D\ldots\)滿足\( \displaystyle \frac{1}{\overline{AB}}=\frac{1}{\overline{AC}}+\frac{1}{\overline{AD}} \)，則k=？

請前往PTTmath板參考

5.
在\(\Delta ABC\)中，\(∠A\)，\(∠B\)，\(∠C\)所對應的邊分別為\(a,b,c\)滿足\( b \le c \)，且\(b,a,c\)成等差數列，已知\(B(-1,0)\)，\(C(1,0)\)，假若\(\Delta ABC\)的面積為\(\displaystyle \frac{3}{5}\sqrt{3}\)，則\(A\)點坐標為　　　。
[提示]
令\(A\)坐標\((x,y)\),三條件\(b+c=2a\),\(b\le c\),面積可以求出


11.
空間中三點\(A(2,2,1)\)，\(B(1,3,-1)\)，\(C(1,1,-1)\)，空間中與\(A,B,C\)三點等距離的所有點形成圖形為\(T\)，\(T\)中與\((0,0,0)\)距離最近的點座標為　　　。
[提示]
令此圖形上任一點\(P(x,y,z)\),由\(\overline{PA}=\overline{PB}=\overline{PC}\)可以得到\(x,y,z\)的關係式,立刻引進參數\(t\),可知這是空間中的直線,接下來與原點距離最小值就easy啦

12.
坐標平面上，自\(A(0,0)\)沿方格之邊走到\(B(6,4)\)，以走捷徑方式(只能往上，往右)，恰轉三次彎(行進方向恰改變三次)的方法有　　　種。
[提示]
請參考http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1550

恩恩~~~謝謝~~

方程式\(\sqrt[3]{x+7}−\sqrt[3]{x−7}=2\)，則得實根中較大者為？

我在ptt找到解法了!!原來我的計算寫得太複雜,真的要加強

可以PO上來嗎?  或是解答日期

3Q    各位老師

題目：方程式 \(\sqrt[3]{x+7}−\sqrt[3]{x−7}=2\)，則得實根中較大者為？

解答：

令 \(\displaystyle\alpha=\sqrt[3]{x+7}, \beta=\sqrt[3]{x-7}\)，則

\(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}\alpha-\beta&=&2\\\alpha^3-\beta^3&=&14\end{array}\right.\)

由 \(\displaystyle \alpha^3-\beta^3=\left(\alpha-\beta\right)^3+3\alpha\beta\left(\alpha-\beta\right)\)

可得 \(\alpha\cdot\beta =1\)

\(\displaystyle\Rightarrow \sqrt[3]{x+7}\cdot\sqrt[3]{x-7}=1\)

\(\Rightarrow x^2-49=1^3\)

\(x=\pm5\sqrt{2}.\)

我有個看法提供你參考…
將方程式視為…a-b=2
兩邊立方後…a^3-b^3-3ab(a-b)=8
整理後可得…x^2-49=1
這類的考古題很多，都可以用這方式處理。