第五題
過 \left(0,0\right) 恰有三相異直線與 y=x^3+ax^2+1 相切，則 a 之範圍為？
解答：
令 f(x)=x^3+ax^2+1，則
f'(x)=3x^2+2ax 且 f''(x)=6x+2a
y=f(x) 有水平切線的兩個點為 (0,1) 及 \displaystyle\left(\frac{-2a}{3},f\left(\frac{-2a}{3}\right)\right)
反曲點為 \displaystyle\left(\frac{-a}{3},f\left(\frac{-a}{3}\right)\right)
case i: 當 a\leq0 時，
至多只有一條 y=f(x) 的切線會通過原點.
case ii: 當 a>0 時，
通過反曲點的切線必須要在原點的下方，才會使得 y=f(x) 有三條切線通過原點.
所以，\displaystyle y-f\left(\frac{-a}{3}\right)=f'\left(\frac{-a}{3}\right)\left(x-\frac{-a}{3}\right) 在原點的下方，
\displaystyle\Rightarrow -f\left(\frac{-a}{3}\right)>f'\left(\frac{-a}{3}\right)\cdot\left(\frac{a}{3}\right)
\Rightarrow a>3.
由上二者，可得 a>3.
以上想法如有疏漏，煩請不吝指教，感激。
