105桃園高中

公告的題目與答案

題目太多，寫到後來答案都忘了

請教第三部分 第10題，謝謝


105.4.26補充
各科進入複試成績:
國文科:43.5分,  數學科:65分,歷史科56分,地理科64分.地球科學科50分,美術科90分
h ttp://www.tysh.tyc.edu.tw/news/u_news_v2.asp?id={4E5051AF-CB04-42DC-AD75-C281B93BB31E}&newsid=8505連結已失效


美夢成真教甄論壇的討論
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=6083

第3-10題
\(\begin{align}
  & \int_{0}^{3}{x\left( 3-x \right)dx=\frac{9}{2}} \\
& \int_{0}^{3-a}{\left[ x\left( 3-x \right)-ax \right]dx=\frac{9}{4}} \\
& a=3-\frac{3}{2}\sqrt[3]{4} \\
\end{align}\)

第二部分
2.
若\( log_5 144^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{10}}+2 log_5 144^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{10}}+3 log_5 144^{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{10}}+\ldots+9 log_5 144^{\frac{1}{10}}=a log_5 2+b log_5 3 \)，則\( a+b= \)？
(103新化高中，https://math.pro/db/thread-2022-1-1.html)
(Fubini定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317)


3.
數列\(\langle\; a_n \rangle\;\)滿足\( a_1=0 \)，\( a_2=1 \)，\( a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=1 \)，則\( a_{106}= \)　　　
(我的教甄準備之路　求數列一般項，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507)


7.
設\( A=\left[ \matrix{1&1&1\cr0&1&1\cr0&0&1} \right] \)，則\(A^{102}\)中各元總和為　　　
104年桃園高中考100次方，105年考102次方
(104桃園高中，https://math.pro/db/thread-2238-1-1.html)
(我的教甄筆記　矩陣\(n\)次方，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875)
公式：\(A^n=\left[ \matrix{\displaystyle 1&n&\frac{n(n+1)}{2}\cr 0&1&n \cr 0&0&1} \right] \)

可以請教第三部分的8和9題嗎？
感謝~

3-8
\(\begin{align}
  & \left\{ \begin{align}
  & \tan \alpha +{{\log }_{3}}\left( 3\tan \alpha +6 \right)=2 \\
& \tan \beta +{{3}^{\tan \beta -1}}=4 \\
\end{align} \right. \\
& \left\{ \begin{align}
  & \tan \alpha +{{\log }_{3}}\left( \tan \alpha +2 \right)+1=2 \\
& {{3}^{\tan \beta -1}}=4-\tan \beta  \\
\end{align} \right. \\
& \left\{ \begin{align}
  & 1-\tan \alpha ={{\log }_{3}}\left( \tan \alpha +2 \right) \\
& \tan \beta -1={{\log }_{3}}\left( 4-\tan \beta  \right) \\
\end{align} \right. \\
& \tan \alpha +\tan \beta -2={{\log }_{3}}\left( \frac{4-\tan \beta }{\tan \alpha +2} \right)={{\log }_{3}}\left( 1-\frac{\tan \alpha +\tan \beta -2}{\tan \alpha +2} \right) \\
& \tan \alpha +\tan \beta =2 \\
\end{align}\)

3-9
\(\begin{align}
  & z=\cos \theta +i\sin \theta  \\
& \left| {{z}^{2}}-z+2 \right| \\
& =\left| {{z}^{2}}-z+2z\overline{z} \right| \\
& =\left| z-1+2\overline{z} \right| \\
& =\sqrt{{{\left( 3\cos \theta -1 \right)}^{2}}+{{\left( -\sin \theta  \right)}^{2}}} \\
& =\sqrt{8{{\cos }^{2}}\theta -6\cos \theta +2} \\
& =\sqrt{8{{\left( \cos \theta -\frac{3}{8} \right)}^{2}}+\frac{7}{8}} \\
& \ge \frac{\sqrt{14}}{4} \\
\end{align}\)

感謝鋼琴老師美妙的解法，
方便解釋一下3一8最後一個步驟
如何看出答案是2嗎？感謝^_^

2帶進去，等號兩邊都是0

想問第三部分的3、6
第6題不是很懂題目的意思

3-3
分段積分
\(\begin{align}
  & 0\le x\le 1,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2-x \right)\left( x+{{x}^{2n}} \right)}{1+{{x}^{2n}}}=-{{x}^{2}}+2x \\
& 1\le x\le 2,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2-x \right)\left( x+{{x}^{2n}} \right)}{1+{{x}^{2n}}}=-x+2 \\
\end{align}\)

3-6
\(x>0,2x>\log x\)，由於\(f\left( x \right)\)是定義成四者中的最大值，故\(y=\log x\)提前出局
剩下的把f(x)的圖畫出來，找最低點

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-4-28 03:07 PM 編輯 ]

還真多啊!!