填充12 個人心得:
直角三角形中，兩股上中線之夾角，與兩股長比值有一對一之關係。亦即，給定兩股上中線之夾角，則這個直角三角形的"形狀"就確定。又再給了斜邊長後，此直角三角形唯一決定。
原題: 在坐標平面上，有一直角△ABC，以∠C 為直角，AD, BE, CF 為△ABC 之三中線，已知AD落在直線 2x + y = 5上，BE落在直線 x + 2y =1上，AB = 30，則△ABC 的面積為?
解: 令△ABC兩股長為 a，b，且 b/a = m
設兩股上中線之銳夾角θ，則 tanθ = 3/4 = (2m-m/2) / (1+2m*m/2) (tan 之和角公式)
即 1/2 = m / (1+m²)
解得 m=1 (一般情形下，會解得互為倒數之兩正根，表相似形，即前面提的: 給定兩股上中線之夾角，則這個直角三角形的"形狀"就確定。本題的數據剛好為等腰直角三角形: a = b)。
再由 a² + b² = 900，所求 = ab/2 = a²/2 = 900/4 = 225
註: 直角三角形中，兩股上中線之銳夾角θ的取值範圍: 0 < θ <= arctan(3/4)
(102中山大學雙週一題第2題)
令△ABC為在 xy 平面上的直角三角形，其中∠C為直角。給定斜邊AB的長度為60，且穿過A與B的中線分別為 y=x+3 與 y=2x+4，試求三角形ABC的面積。
解: 令△ABC兩股長為 a，b，且 b/a = m
設兩股上中線之銳夾角θ，則 tanθ = 1/3 = (2m-m/2) / (1+2m*m/2)
即 2m² + 2 = 9m ....(1)
以下仿上題解出 m 固然可行，但本題是無理根較麻煩，可以不必直接解出 m。
令所求面積 = ab/2 = k，又 b/a = m ，兩者乘除分別可得 a² 與 b² 而代入下面關係式:
斜邊AB的長度為60，故 a² + b² = 3600，即 2k*(m + 1/m) = 3600
又由(1)式，得 m + 1/m = 9/2，故面積 = k = 400
註: 用這個思維，若題目不是給中線而是給 "n等分線"，亦不難求得面積。
