110竹科實中

只記得少少幾題，希望大家可以幫忙補齊，沒有按照順序

填充8格
1. {1,2,3,...,2021}的子集合中，元素和為奇數的集合個數？
2.一個邊長為2的正立方體，一面上色後再分割為8個邊長為1的正立方體，將8個小正立方體重新拼成邊長2的正立方體，六面都沒有顏色的機率是多少？

計算7題
A.三角形ABC面積為1/4，外接圓半徑為1，abc為三角形三邊長。證明：1/a +1/b + 1/c > sqrt{a}+sqrt{b}+sqrt{c}
G.三個單位圓在三條線上移動，所交集的體積
H.

1.
已知一單位圓圓\(O\)，且\(\Delta ABC\)為圓\(O\)之內接正三角形。若\(P\)為圓\(O\)上一動點，則\(\overline{PA}\times\overline{PB}\times \overline{PC}\)的最大值為何？
連結有解答
(101武陵高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1371&page=1#pid5727\)

2.
已知集合\(S=\{\;1,2,3,\ldots,2021 \}\;\)，試求：\(S\)的子集合中，元素和是奇數的集合有多少？

已知集合\(S=\{\;1,2,3,\ldots,2018 \}\;\)的子集合共有\(2^{2018}\)個。試求：
(1)\(S\)的子集合中，包含\(1,2,3,4,5\)中至少三個數的集合有多少個？
(2)\(S\)的子集合中，元素和是奇數的集合有多少個？
(107台灣師大申請入學筆試一試題，https://math.pro/db/thread-3090-1-1.html)

8.
已知一個等腰三角形\(ABC\)，其中\(\overline{AB}=\overline{AC}=10\)，\(\overline{BC}=2\sqrt{5}\)，今依序在\(\overline{BC}\)、\(\overline{AC}\)、\(\overline{AB}\)上取各邊中點\(D\)、\(E\)、\(F\)，分別將\(\Delta AEF\)、\(\Delta BDF\)、\(\Delta CDE\)沿著\(\overline{EF}\)、\(\overline{DF}\)、\(\overline{DE}\)折起來，使\(A\)、\(B\)、\(C\)三點重合在\(P\)點形成一個四面體\(P-DEF\)，則此四面體\(P-DEF\)的體積為　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=929&page=1#pid1991

D、
已知\(\Delta ABC\)的面積是\(\displaystyle \frac{1}{4}\)，其外接圓半徑為1，且\(a,b,c\)為\(\Delta ABC\)的三邊長，試證：\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)。
(高中數學競賽教程P136)

F、
在空間中有三條直線：\(L_1\)：\(\cases{x=t \cr y=0\cr z=0},t\in R\)，\(L_2\)：\(\cases{x=k \cr y=\sqrt{3}k \cr z=0},k\in R\)，\(L_3\)：\(\cases{x=s \cr y=-\sqrt{3}s\cr z=0},s\in R\)，以及三顆半徑為1的球，其球心分別為\(P\)、\(Q\)、\(R\)，今使\(P\)在\(L_1\)上移動，\(Q\)在\(L_2\)上移動，\(R\)在\(L_3\)上移動，試問三顆球所經區域，其交集部分的體積為　　　。

三個單位圓在三條線上移動，所交集的體積
不知道是不是這題
https://math.pro/db/thread-2927-1-1.html

小弟幫忙貢獻一下記得的，數字有點忘記
填充
3.An=2^(n-1)，Bn為logAn、logAn+1(log底數2)的等差中項，求sigma(-1)^k*(Bk)^2，(k=1~2n)
6.(Sn)^2=sigma(An)^3，求A1+A2+...+A109
8.等腰三角形，摺起來算四面體體積(類似:寸斯518)
計算
A.一直線過(0,0,0)、(1,1,1)，且與平面(題目有給)的夾角costheta為1/6，求此平面
B.雙曲線(題目有給)，焦點F1、F2，通過F2焦弦與雙曲線交AB兩點，問F1 A B為成三角形面積最小值，並證明
E.0、Z、1/Z、Z+1/Z圍成的平行四邊形，面積為(考試有給)，d=z+1/z最小值，求d^2
G.小明要跟爸媽對戰三局，爸比媽棋藝高，小明必須要連勝兩局才算獲勝，小明策略是先跟媽媽下，請問此舉動明智嗎?
H.冰淇淋甜筒的圖形(拜託其他老師附上圖形支援)，用正弦算sintheta

只記得這題是求三球柱相交體積，可是三球柱並不是兩兩垂直

學校公告試題和答案了，不知道為何檔案上傳後，名稱變成亂碼

110.05.24版主補充
將題目移到第一篇文章

以下提供計算題小弟有算的答案 有錯還請不吝指教

A.\(\displaystyle E:13x-11y-2z=0\)或\(2x-y-z=0\)

B.最小值\(\displaystyle \frac{45}{2}\)

C.\(\displaystyle d^2\geq \frac{50}{37}\) (感謝寸斯老師糾正)

D.\(abc=1\)且\(a,b,c\)不完全相等，算幾即可證明出來

E.否

G.\(\displaystyle  \sqrt{\frac{5-\sqrt{5+4\sqrt{5}}}{8}}\)

另外想請教計算F，填充6

填充 6.
每一個小正立方體有六個面，組合大立方體時，
小正立方體有三個面在大立方體的面上，有三個面在內部。

依題意之染色，有四個小正立方體有一面染色，故所求 = \( (\frac{3}{6})^{4}=\frac{1}{16} \)

F. 先考慮在 \( z = k \) (\( -1<k<1 \)) 的截面上，三個球被截出一樣大的圓，其半徑為 \( r=\sqrt{1-k^{2}} \)
三個圓隨著球移體，所經區域為一長條介在兩條距離為 \( 2r \) 平行直線，此兩直線與原本的 \( L_i \) 平行。共同區域的邊界所在直線為 \( y=\pm r \), \( \sqrt{3} x \pm y = \pm 2r \) (z=k 截面上的六條直線)

故共同區域為一正六邊形，其邊長為 \( \frac{2}{\sqrt{3}}r \)，其面積為 \( \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot6\cdot (\frac{2}{\sqrt{3}}r)^2 = 2\sqrt{3} r^2 \)

故所求體積為 \(\displaystyle 2\sqrt{3}\int_{-1}^{1}(1-z^{2})dz=2\sqrt{3}(z-\frac{z^{3}}{3})\Big|_{-1}^{1}=\frac{8}{3}\sqrt{3} \)

112.12.16新增

C. 他是要算最小值，\(\displaystyle \frac{50}{37} \)
發生在 \( |z|=1 \), 幅角 \( \theta \) 滿足 \(\displaystyle \cos\theta=\frac{5}{\sqrt{74}} \) 且 \( Re(z)>0 \) 的時候

感謝寸絲老師糾正 我找到我哪邊寫錯了
所求為平行四邊形對角線長度平方:\(\displaystyle r^2+\frac{1}{r^2}-2cos2\theta \geq 2-\frac{24}{37}=\frac{50}{37}\)

填充4 答案應更正為無限多組解
100文華高中
https://math.pro/db/thread-1095-3-1.html