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102台中女中

poemghost

天哥．數醉
1# 大 中 小 發表於 2013-5-4 11:07  只看該作者

102台中女中

計算證明題

第一題(8分)，數據忘了，等價於【高中數學101】P.235的第6題，答案是5。

第二題(10分)，數據 2462n  的算術平均為 An  ，標準差為 n 。求 limnnAn=?

第三題(10分)，函數  f(x)=x3+ax 上以 P(?,?) 為切點的法線亦為此函數的切線。證明：實數 a1。 (不太確定 ^^!!)

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 11:37 AM 編輯 ]

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102台中女中.pdf (805.77 KB)

2013-5-4 11:07, 下載次數: 12166

越學越多，越發現自己是多麼渺少...微不足道

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poemghost

天哥．數醉
2# 大 中 小 發表於 2013-5-4 12:45  只看該作者
填充第8題

經過疊代可觀察出 xn=10n+4na 和 yn=10n−4na

因此所求 limnn2logOPn=limnlogn100n+16na=log100=2 


備註：如果不經過疊代的話，也可以用遞迴關係式來推。
由 xn+1=7xn+3yn 和 yn+1=3xn+7yn 可求得 xn+1+yn+1=10(xn+yn)
因此 xk+yk 為等比數列，且首項 x0+y0=2，所以一般項為 xn+yn=210n
然後再由 xn+1=7xn+3yn 將 yn 替換掉可得 xk的遞迴關係式為 xn+1=4xn+610n
......以下省略 ^^!!
只是這樣的方法有點慢，還是觀察比較快，呵呵
不過小弟在考場就是用遞迴在推，而且當時還推不出來，殘念 @@
同事是用矩陣論解這題，但線代忘光了，待人補吧 ^^

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 02:31 PM 編輯 ]
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poemghost

天哥．數醉
3# 大 中 小 發表於 2013-5-4 14:44  只看該作者
填充第12題

10670+1102010+2011 

=10670+1[(10670)3+1]+2010 

=(10670)2−(10670)+1+201010670+1 

=(10670)2−(10670)+1+201010670+1 

=101340−10670+1

=001

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 02:47 PM 編輯 ]
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tsusy

寸絲
4# 大 中 小 發表於 2013-5-4 15:22  只看該作者

回復 2# poemghost 的帖子

來幫補一下特徵值的方法

填充 8.

xn+1yn+1=7337xnyn ，令 A=7337 。

則 A 的特徵多項式為 (x−7)2−32=(x−10)(x−4)。故其特徵值為 104，

分別對應之特徵向量為 11  和 1−1 。而 x1y1=11+a1−1 。

故 xnyn=10n11+4na−a=10n+4na10n−4na 。

而 2nlogOPn=1nlogOPn2 ， OPn2=102n(2+tn)，其中 tn0, as n。

故 limn2nlogOP=limnn2n+limnnlog(2+tn)=2。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-4 03:24 PM 編輯 ]
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jyge

5# 大 中 小 發表於 2013-5-4 16:17  只看該作者

請教大家

想請教填充3,4,7題

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tsusy

寸絲
6# 大 中 小 發表於 2013-5-4 18:21  只看該作者

回復 5# jyge 的帖子

填 3.

注意 x7=−1 的根為 3579mega1113，其中 7=−1。

分解 x7+1=(x+1)(x6−x5+x4−x3+x2−x+1)。

因此 (x−)(x−3)(x−5)(x−7)(x−11)(x−13)=x6−x5+x4−x3+x2−x+1。

由餘式定理得，所求為 f(2)=43。

填 4. f(−4) 的正負，可由最高次項決定 (可視為 4 進制)

因此若最高次數是 6 次，則有 36 個，同理若最高為 5 次，則有 35 個...

故總有 36+35++3+1=1093

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-4 06:38 PM 編輯 ]
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poemghost

天哥．數醉
7# 大 中 小 發表於 2013-5-4 19:04  只看該作者
填充第4題

若 a6=−1 ，則不論 a5a0 怎麼選，結果都不合。
若 a6=1 ，則不論 a5a0 怎麼選，結果都合，所以共有 36 種。
若 a6=0 ，則換討論 a5 。

若 a5=−1 ，則不論 a4a0 怎麼選，結果都不合。
若 a5=1 ，則不論 a4a0 怎麼選，結果都合，所以共有 35 種。
若 a5=0 ，則換討論 a_4 。

......
依此類推，即可知此題的答案為 3^6+3^5+3^4+3^3+3^2+3^1+1=1093

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 07:05 PM 編輯 ]
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poemghost

天哥．數醉
8# 大 中 小 發表於 2013-5-4 19:22  只看該作者
請教各位填充第5、9題，(第9題我不知道在哪裡算過一次 @@!!)
越學越多，越發現自己是多麼渺少...微不足道

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bugmens

9# 大 中 小 發表於 2013-5-4 19:50  只看該作者
2.
給定數列 \langle\; a_n \rangle\; 滿足 \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{a_1=\frac{1}{2} \cr a_n=3a_{n-1}-2(-1)^{n-1}},n=2,3,4,\ldots 。試問 a_{102} 為　　位數。
[提示]
\displaystyle a_n-\frac{1}{2}(-1)^n=3(\; a_{n-1}-\frac{1}{2}(-1)^{n-1} )\;

設 4a_n=a_{n-1}+4 ，且 a_1=1 ，則 a_n 的一般式為？
(93國立大里高中，https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

遞迴數列 \langle\; a_n \rangle\; ，已知 a_1=3 ，且 5a_{n+1}=3a_2+2 ,( n \ge 2 , n \in N )，則 a_n 之一般式為？
(99中興高中，https://math.pro/db/thread-1013-1-1.html)

已知 a_1=1 ， a_{n+1}=3a_n+\frac{3^n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} ，( n \in N )；則 a_n= ？
(100麗山高中，http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&p=6448#p6443)


11.
\displaystyle \frac{3^4+2^6}{7^4+2^6}\times \frac{11^4+2^6}{15^4+2^6}\times \frac{19^4+2^6}{23^4+2^6}\times \frac{27^4+2^6}{31^4+2^6}\times \frac{35^4+2^6}{39^4+2^6}\times \frac{43^4+2^6}{47^4+2^6}= ？
[提示]
n^4+4 \times 2^4=[(n-2)^2+2^2][(n+2)^2+2^2]
(100中科實中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1107&page=1#pid3144)


12.
求 \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{2010}+2011}{10^{670}+1} \Bigg]\; 的末三位數字為？

試求 \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{2001}}{10^{667}+2002} \Bigg]\; 的末四位數，其中[x]表示小於或等於x的最大整數。
(2002TRML團體賽，96中一中)


－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
5.
求由五個平面： 2x+2y+z=9 、 x+2y+2z=9 、 x=0 、 y=0 及 z=0 所圍成之立體圖形的體積為？
[解答]
2x+2y+z=9 交 x 軸於 \displaystyle F(\frac{9}{2},0,0) ，交 y 軸於  \displaystyle C(0,\frac{9}{2},0) ，交 z 軸於 A(0,0,9)
x+2y+2z=9 交 x 軸於 \displaystyle B(9,0,0) ，交 y 軸於 \displaystyle C(0,\frac{9}{2},0) ，交 z 軸於 \displaystyle D(0,0,\frac{9}{2})
兩平面還相交於 E(3,0,3)

ODEF在xz平面上的點坐標依次為 (0,0) 、 \displaystyle (0,\frac{9}{2}) 、 (3,3) 、 \displaystyle (\frac{9}{2},0)
四邊形ODEF面積為 \displaystyle =\frac{1}{2} \Bigg\Vert\; \matrix{0 & 0 & 3 & \frac{9}{2} & 0 \cr 0 & \frac{9}{2} & 3 & 0 & 0} \Bigg\Vert\;=\frac{27}{2}

ODEFC體積為 \displaystyle =\frac{1}{3} \times \frac{27}{2} \times \frac{9}{2}=\frac{81}{4}

附件

102台中女中.gif (30.61 KB)

2013-6-16 11:10

102台中女中.gif

102台中女中SketchUp檔.rar (37.91 KB)

2013-6-16 11:10, 下載次數: 10865

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natureling

10# 大 中 小 發表於 2013-5-4 20:07  只看該作者

[請教]除了5,9我也想請教第10題..還有計2.@@

謝謝

[ 本帖最後由 natureling 於 2013-5-4 08:41 PM 編輯 ]

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