100南港高工

題目請見附件

想問9.12~感謝各位高手! ^^

#9
想將一半徑3公分的球投進一個三角形的球框，因球太大被卡在框架上，若此三角形球框三邊長為3,4,6公分，則球心到此三角形所決定的平面的最短距離為　　　公分。
[解答]
球心在三角形ABC所在的平面上投影必為內心
假設內切圓的半徑=r, s=(3+4+6)/2=13/2
三角形ABC面積=T=[(13/2)(13/2 -3)(13/2 -4)(13/2 -6)]^0.5 = (455)^0.5/ 4
r*s=T , r =T*2/13 =(455)^0.5 /26
球的半徑=3 ,  
所求=(3^2 -455/26^2)^0.5 = (433 /52)^0.5

#12
求所有函數\(f(x)\)，對任意實數\(x\)，\(|\;x|\;\ne 1\)，滿足\(\displaystyle f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\frac{3+x}{1-x}\right)=x\)，則\(f(x)=\)　　　。
[解答]
自問自答  = ="|||
設 t = x-3 / x+1  => x = -t-3 / t-1  =>  f(t) + f( t-3 / t+1) = -t-3 / t-1
設 t = 3+x / 1-x  => x = t-3 / t+1  =>  f(-t-3 / t-1) + f(t)  = t-3 / t+1
兩式相加:  2f(x) + x = -8x / x^2 -1
f(x) = x^3+7x / 2-2x^2

想請問第3、8、10題

8.
若\( z \in C \)，\( |\; z |\;=1 \)，則\( |\; z^2-z+2 |\; \)的最小值為？
[解答]
設\( z=x+yi \)，\( x,y \in R \)則\( x^2+y^2=1 \)
\( z^2-z+2=(x+yi)^2-(x+yi)+2=(x^2-y^2-x+2)+y(2x-1)i=(2x^2-x+1)+y(2x-1)i \)
\( |\; z^2-z+2 |\;=\sqrt{(2x^2-x+1)^2-y^2(2x-1)^2}=\sqrt{(2x^2-x+1)^2+(1-x^2)(2x-1)^2} \)
\( \displaystyle =\sqrt{8x^2-6x+2}=\sqrt{8(x-\frac{3}{4})^2+\frac{7}{8}} \)
最小值\( \displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4} \)

114.6.20補充
設\(z\)為複數，若\(|\;z|\;=1\)，則\(|\;z^2-z+2|\;\)之最小值為　　　。
(112關西高中，https://math.pro/db/thread-3749-1-1.html)

\(z\in \mathbb{C}\)且\(|\;z|\;=1\)，\(|\;z^2-z+1|\;\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，求\(M+m=\)　　　。
(106興大附中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2749&page=1#pid17004)
thepiano解題http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=1052

設\(z\)為複數，若\(|\;z|\;=2\)，則\(|\;z^2-2z+8|\;\)的最小值為　　　。
(106全國高中聯招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2769&page=3#pid17284)

已知\(|\;z|\;=1\)(\(z\)為複數)，求\(|\;z^3-z+2|\;\)的最大值。
(110高中數學能力競賽，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3612&page=1#pid23633)

在複數平面上，若已知\(|\;z|\;=1\)，試求\(|\;z^2+z-6|\;\)的最大值為　　　。
(114嘉義女中，https://math.pro/db/thread-4008-1-1.html)

在複數平面上，設複數\(z=a+bi\)，\(a,b\in \mathbb{R}\)，且\(a^2+b^2=1\)，試求\(|\;z^2+z-6|\;\)之最大值為　　　。
(114桃園陽明高中，https://math.pro/db/thread-3981-1-1.html)

在複數平面上，複數\(z\)是單位圓上的任一點，且當\(z=z_0\)時，函數\(f(z)=|\;z^2-2z+5|\;\)有最小值\(m\)，試求數對\((z_0,m)\)。
(114基隆女中，https://math.pro/db/thread-4005-1-1.html)

已知複數\(z\)滿足\(|\;z|\;=1\)，則\(|\;z-6|\;^2+|\;z+2i|\;^2\)之最小值為　　　。
(114文華高中，https://math.pro/db/thread-3953-1-1.html)

複數z滿足\( |\; z |\;=1 \)，求\( |\; z^3-3z-2 |\; \)的最大值和最小值及相應的複數z。
(奧數教程高二　第5講複數的概念與運算)

9.
想將一半徑3公分的球投進一個三角形的球框，因球太大被卡在框架上，若此三角形球框三邊長為3,4,6公分，則球心到此三角形所決定的平面的最短距離為　　公分。
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1003&page=2#pid14609

請問此題如何分解

不好意思請問一下M大
在兩式相加的時候是怎麼加的呢
感謝

第 3 題：
設\(f(x)=x^3+3x^2+mx-n=0\)，\(g(x)=x^3+(2-m)x^2-(n+3)x-8=0\)，其中\(m,n\)皆為整數且\(f(x)=0\)之三根成等差數列，而\(g(x)=0\)之三根成等比數列，則\(m^2+n^2=\)　　　。
[解答]
設 \(f(x)=0\) 的三根為 \(a-d,a,a+d\)

則 \((a-d)+a+(a+d)=-3\Rightarrow a=-1\)

　 \(\Rightarrow f(-1)=0\)

設 \(g(x)=0\) 的三根為 \(\displaystyle\frac{b}{r},b,br\)

則 \(\displaystyle\frac{b}{r}\cdot b\cdot br=8\Rightarrow b=2\)

　 \(\Rightarrow g(2)=0\)

由 \(f(-1)=0\) 與 \(g(2)=0\)，

解聯立可得 \(m,n\) 之值。