99中正預校

題目和答案如附件

填充題
1.設四點A－B－C－D且AB:BC:CD=2:3:1，以BC為直徑作圓，取圓上一點P(但P=B，P=C)，則(tan∠APB)(tan∠CPD)=？
[速解]
5241


A、B、C、D四點依次在直線L上，且AB:BC:CD=a:b:c，以BC為直徑作圓O，P為圓O上異於B、C的一點，令∠APB=，∠CPD=，則tantan=？
(1)cab2+(c+a)b+ca　(2)abc2+(a+b)c+ab　(3)bca2+(b+c)a+bc
(4)caa2+(b+c)a+bc　(5)abb2+(c+a)b+ca
(2008年北區第1次學測模擬考，RA340.swf)
[公式]
aa+bcb+c


5.有九個人排隊買電影票，票價每張50元，若這九個人中有五人身上帶有50元硬幣，其餘四人只帶有100元鈔票，今每個人限購一張票，則售票員不備零錢能將票順利售完不發生找錢困難的售票法共有A種，又這九個人排隊的方法共有B種，則序對為(A,B)為？

有十人要看電影,電影票一張50元,十人中有4人手拿100元鈔票,其他6人手拿50 元,今售票員不另外準備零錢找錢,但又可以讓這十位客人都順利買到票的方法數有多少種？
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6.若a2+b2=1，c2+d2=1，ac+bd=21，則  acbd之值為？
[提示]
兩向量(ab)，(cd)，長度為1，夾角60o
行列式是兩向量所形成的三角形面積乘2倍再加正負

102.5.4補充
設實數abcd滿足a2+b2=2且(c−3)2+(d−4)2=1，則abcd的最大值為？
(102北一女中二招，https://math.pro/db/thread-1590-1-1.html)


感謝 八神庵 提醒，這題和99彰化女中相同
7.02limn1+xn(2−x)(x+xn)dx 之值為？
(99彰化女中，https://math.pro/db/thread-948-1-1.html)
解答在http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=10#p4039

三、證明題
2.利用二項式定理與棣美弗定理導出正弦與餘弦函數的四倍角公式。

用cos來表示cos5。
(95士林高商，h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41891　連結已失效)

用利美佛定理，表示出sin5=？（用 sin \theta 表示）， cos5 \theta= ？（用 cos \theta 表示）
(新竹高中)，h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=24937　連結已失效

請問一下計算第二題中，S代公式要如何去化簡 x_i-X

計算第 2 題的第 1 小題：

樣本標準差 \displaystyle S=\sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2-n\cdot\left(\frac{\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)}{n}\right)^2}{n-1}}

　　　　　　\displaystyle =\sqrt{\frac{\frac{1}{3}\left(4n^3-n\right)-n\cdot n^2}{n-1}}

　　　　　　\displaystyle =\sqrt{\frac{n\left(n+1\right)}{3}}


※　小弟是看答案推斷題目應該要求樣本標準差。

請問  填充題 2

填充第 2 題：

n^3\equiv n \pmod{66}

n^3-n\equiv 0 \pmod{66}

(n-1)n(n+1)\equiv0 \pmod{2\cdot3\cdot11}

因為 n-1, n, n+1 為連續的三整數，因此 (n-1)n(n+1) 必為 2,3 的倍數

\Rightarrow n-1, n, n+1 有一數為 11 的倍數

且因為 n 是 n^3 「除以 66 的餘數」，

因此 n<66，

故，n 可為 0+1,  11,  11\pm1,  22, 22\pm1,  \cdots,  55,  55\pm1,  66-1

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