計算題，第 1 題
題目：
設 \(a,b\) 為實數，且 \(x^2-ax+b=0\) 之兩根為 \(x_1,x_2\)，且 \(-1 \leq x_1 \leq 1 , 1 \leq x_2\leq 2.\)
（ａ） 設滿足上述條件之 \(\left(a,b\right)\) 所在之區域為 \(I\)，在坐標平面上畫出 \(I\) 的圖形.
（ｂ）設 \(u=x-3y\)，其中 \(x,y\in I\)，求 \(u\) 之最大值與最小值.
解答：
（ａ）
依題意，可得
\(\left\{\begin{array}{ccc}\mbox{判別式}=a^2-4b\geq0\\ 0\leq a=x_1+x_2\leq3\\ -2\leq b=x_1x_2\leq 2\end{array}\right.\)
且若令 \(f(x)=x^2-ax+b\) ，則 \(y=f(x)\) 為開口向上拋物線
且 \(y=f(x)\) 與 \(x\) 軸的兩交點分別落在 \(x\) 軸上的 \([-1,1]\) 與 \([1,2]\) 兩區間內各有一個，
\(\Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc}f(-1)&=&1+a+b\geq0\\ f(1)&=&1-a+b\leq0\\ f(2)&=&4-2a+b\geq0\end{array}\right.\)
以 \(a\) 為橫軸、\(b\) 為縱軸，畫出圖形所圍區域 \(\triangle ABC\) 即為 \(I.\)
（ｂ）線性規劃，用頂點法將 \(\triangle ABC\) 的三頂點帶入，可得 \(u\) 的最大值與最小值。
註：感謝 Ellipse 於後方回覆中提醒繪圖中某直線位置錯誤，已修正！
