101高中數學能力競賽

敬請享用!!

根據可靠消息，共有107位學生考，有 2 位學生筆試滿分 (70分)。

111.1.29補充
101高中數學能力競賽題目下載http://pisa.math.ntnu.edu.tw/mat ... -04-29-02-26-13/101

設\( r \ge s \ge t \ge u \ge 0 \)且滿足\( 5r+4s+3t+6u=2012 \)。試求\( r+s+t+u \)的最大值與最小值。

設\( a \ge b \ge c \ge -2 \)且\( 3a+2b-c=4 \)，則\( a+2b+c \)之最大值？
(100麗山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1138&page=1#pid3580)



設\( \{\; a_k \}\; \)是各項均不為零的等差數列。試證：對於每一個大於1的正整數n，下式恆成立：\( \displaystyle \frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+…+\frac{1}{a_{n-1}a_n}=\frac{n-1}{a_1a_n} \)。

和下面這題證法相同。
已知\( \langle\; a_n \rangle\; \)成等差數列，求證\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+…+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{n}} \)。
(98松山工農，高中數學101　P42，高中數學競賽教程P118)
這題在高中數學101修訂版已經拿掉了，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid1675



試求\( (tan1^o+\sqrt{3})(tan2^o+\sqrt{3})…(tan29^o+\sqrt{3}) \)之值為？

Find n：\( (1+tan1^o)(1+tan2^o)(1+tan3^o)…(1+tan45^o)=2^n \).
http://www.artofproblemsolving.c ... c.php?t=273273?ml=1

求\( log_2(1+tan1^o)(1+tan2^o)…(1+tan44^o)(1+tan45^o)= \)？
(93彰化女中)

計算\( log_4(1+tan1^o)(1+tan2^o)…(1+tan44^o)(1+tan45^o) \)之值。
(97文華高中)


扇形OAB的半徑為1，圓心角AOB等於\( 60^o \)，則其內接矩形PQRS(R、Q在圓弧上，S、P在半徑上)的最大面積為？

四邊形ABCD是內接於一扇形的正方形，頂點A、D分別在扇形的兩半徑上，頂點B、C在扇形的弧上，其中扇形的半徑為1，圓心角為\( 60^o \)。則正方形ABCD的面積為？
(101台中女中，https://math.pro/db/thread-1327-1-1.html)

四邊形ABCD是內接於一扇形的正方形，頂點A、D分別在扇形的兩半徑上，頂點B、C在扇形的弧上，而M是扇形的弧中點。設扇形的半徑為r，而圓心角\( ∠AOD=\theta \)是一銳角，則正方形ABCD的面積為？(以r與\( \theta \)表示)
(97高中數學能力競賽台北市筆試二，https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)
thepiano解答，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2800



正三角形ABC交一圓於六個點，若\( \overline{AG}=2 \)，\( \overline{GF}=13 \)，\( \overline{FC}=1 \)，\( \overline{HJ}=7 \)，則\( \overline{DE} \)之長為？
(100麗山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1138&page=2#pid4204)
答案是\( 2\sqrt{22} \)

請問一下筆試二的第六題DE給的答案應該是錯的,6*(22)^1/2已經超出三角形長了
,DE=2*(22)^1/2對嗎???

新竹高中筆試二
試著找出規律性但仍卡住!!

設\(x,y\)皆為實數，且\(x>y>0\)。已知\(\displaystyle \frac{x+y}{2},\sqrt{xy},\frac{2xy}{x+y}\)皆為整數，且總和為49。則\(x=\)　　　。
(101高中數學能力競賽　新竹高中筆試二)
[解答]
參考一下

前面的方法有試過,也曾試著用公式解解出整數,但因為數太大放棄了!只是不知道後面是不是需要一個一個檢驗,因為數還蠻多的,還是說只能這樣一個一個代?

雖然\(b\)代入後有 16 個式子，但由於\(a\)是整數，所以稍微看一下，很快就可知道只有 2 個式子能因式分解

要更快的話，就等高手囉

第 1 題
觀察下表(每一行、每一列中的數字皆形成無窮等差數列)：
１ ３ ５ ７ ９⋯
３ ６ ９ 12 15⋯
５ ９ 13 17 21⋯
７ 12 17 22 27⋯
９ 15 21 27 33⋯
11 18 25 32 37⋯
⋮   ⋮  ⋮   ⋮  ⋮ ⋱
上表中，2012共出現　　　次。
[解答]
第 i 行第 j 列的數是 (2i + 1) + (j - 1)(i + 1) = ij + i + j - 2
ij + i + j - 2 = 2012
(i + 1)(j + 1) = 2015
2015 = 5 * 13 * 31 有 8 個正因數，扣掉 1 和 2015
故 2012 出現 6 次

借一下鋼琴兄一開始的假設
a=(x+y)/2 ,b=(xy)^0.5 , 2xy/(x+y)=b^2/a
令a=hd,b=kd 其中(h,k)=1 ,h,k,d為正整數 (h>k)
又b^2/a =k^2*d/h 為正整數,可知h|d
因此令d=ht ,其中t為正整數,則a=h^2*t ,b=hkt
所以a+b+b^2/a=h^2*t+hkt+k^2*t=t(h^2+hk+k^2)=49
t=1或7(49不合)
(1)當t=1,h^2+hk+k^2=49---------(*1)
49>3*k^2 ,k=4,3,2,1代入(*1)檢驗
只有k=3 ,h=5的解
此時a=5^2*1=25 ,b=5*3*1=15
(2)當t=7,h^2+hk+k^2=7---------(*2)
7>3*k^2 ,k=1代入(*2) 得h=2的解
此時a=2^2*7=28 ,b=2*1*7=14
剩下x解就自己算囉~

(前面開始處理比較費功,但後面只需檢驗五組方程式即可)

感謝兩位老師的精解，試另解第2題。


令 a = (x+y)/2，b = √xy，c = 2xy/(x+y)，則 a，b，c 分別代表 x，y 的算數平均，幾何平均，調和平均，故 a ≥ b ≥ c。
因此，49 > a ≥ 17，c ≤ 16。
又 ac = b²，即 ac 為完全平方數。


注意因 49 僅含 "7" 這個質因數，因此:

1. a 與 c 不會含有共同的"非7質因數" (否則 a+b+c 亦含之，矛盾); 進而:

2. a 與 c 若含有某"非7質因數"，其冪次必是偶數。



以上兩點可以簡化之後的討論過程。


以下就 a 是否含有 "7" 這個因數，配合以上兩點結論與"49 > a ≥ 17，c ≤ 16" 討論:


A. 若 a 含有 "7"，則 a = 28 (範圍內的唯一可能)，c = 7 (合)，x = 28+14√3

B. 若 a 不含 "7"，則 a 的質因數只能往下找:

  B-1: a = 5²，c = 3² (合)，x = 45


  B-2: a 僅含 2 或 3 ，都不能使 49 > a ≥ 17; 又若 a 含 2 和 3，則 c = 1 或至少 5²，不合。




綜上，x = 28+14√3 或 45