105師大附中代理

　

13.
\( \Bigg\{\; \matrix{(x-1)^3+(x-1)(2016)=-105 \cr (y-1)^3+(y-1)(2016)=105} \)，求\( x+y= \)　　　。

計算題
1.
設\(x,y,z\)均為整數且滿足\(\cases{x^3+y^3+z^3=132\cr x+y+z=6}\)，求\(|\;x|\;+2|\;y|\;+|\;z|\;\)的所有可能值為何？

求所有整數\(x,y,z\)滿足\(\cases{x+y+z=4\cr x^3+y^3+z^3=88}\)
(111高中數學能力競賽　彰雲嘉區複賽試題一，https://math.pro/db/thread-3782-1-1.html)

115.3.31補充
滿足方程組\(\cases{x+y+z=0\cr x^3+y^3+z^3=-18}\)的整數序對\((x,y,z)\)總共有　　　組。
(2025TRML，https://math.pro/db/thread-4038-1-1.html)

第13題沒有說 x, y 是實數...
這樣會有9個答案XD   而且不太好算吧！

填充第3
設實係數多項式\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若\(f(7)=k_1f(3)+k_2f(5)+k_3f(9)+k_4f(11)\)，求\(|\;k_1|\;+|\;k_2|\;+|\;k_3|\;+|\;k_4|\;\)之值為　　　。
[解答]
小弟提供插值解法，如果用差分應該可以更快，不過小弟跟它不熟.....
設\(\displaystyle f(x)=f(3)\times\frac{(x-5)(x-9)(x-11)}{(-2)\times(-6)\times(-8)}+f(5)\times\frac{(x-3)(x-9)(x-11)}{2\times(-4)\times(-6)}+f(9)\times\frac{(x-3)(x-5)(x-11)}{6\times4\times(-2)}+f(11)\times\frac{(x-3)(x-5)(x-9)}{8\times6\times2}\)

當\(x=7\)時：
\(\displaystyle k_1=\frac{2\times(-2)\times(-4)}{(-2)\times(-6)\times(-8)}=-\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle k_2=\frac{4\times(-2)\times(-4)}{2\times(-4)\times(-6)}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle k_3=\frac{4\times2\times(-4)}{6\times4\times(-2)}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle k_4=\frac{4\times2\times(-2)}{8\times6\times2}=-\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{5}{3}\)

填充題3.  設實係數多項式 f (x) = x³ + ax² + bx + c，若 f (7) = k₁*f (3) + k₂*f (5) + k₃*f (9) + k₄*f (11)，求 |k₁| + |k₂| + |k₃| + |k₄| 之值。


解: 利用巴貝奇定理，有

f (3) - 4*f (5) + 6*f (7) - 4*f (9) + f (11) = 0

所求 = 5/3。

第5題
從連續正整數：1、2、3、……、20 中任取相異三數為一組，
(1)試求總共有　　　組。
(2)令\(x\)為每組中最小的數，求所有\(x\)值的平均為　　　。
[解答]
(1) \(C^{20}_{3} = 1140\)
(2) 所求 \(\displaystyle= \frac{1 \times C^{19}_{2} + 2 \times C^{18}_{2} + 3 \times C^{17}_{2} + \dots + 18 \times C^{2}_{2}}{C^{20}_{3}} = \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{18} k \cdot C^{20-k}_{2}}{C^{20}_{3}}\)
\(\displaystyle= \frac{\displaystyle \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{18} k(20-k)(19-k)}{C^{20}_{3}} = \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{18} (k^3 - 39k^2 + 380k)}{2 \times C^{20}_{3}} = \frac{21}{4}\)

第六題
若\(x^2+(\sqrt{m}-12)x+(\sqrt{m}-1)=0\)的二根均為正整數，試求所有\(m\)的和為　　　。
[解答]
設兩正整數根為 \(\alpha, \beta\)，不妨設 \(\alpha \le \beta\)，
則依照根與係數得 \(\begin{cases} \alpha + \beta = 12 - \sqrt{m} & \cdots ① \\ \alpha\beta = \sqrt{m} - 1 & \cdots ② \end{cases}\)
由 \(① + ②\) 得 \(\alpha + \beta + \alpha\beta = 11\Rightarrow (\alpha + 1)(\beta + 1) = 12\)
(i) 若 \(\alpha = 1, \beta = 5 \Rightarrow \sqrt{m} = 6 \Rightarrow m = 36\)
(ii) 若 \(\alpha = 2, \beta = 3 \Rightarrow \sqrt{m} = 7 \Rightarrow m = 49\)
所求 \(= 36 + 49 = 85\)

第10題
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)首項\(a_1=1\)，令\(S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n\)且滿足\(S_n=4(a_{n+1}-1),\forall n\ge 1\)，若\(S_n>400\)，試求最小的\(n\)值為　　　。
[解答]
\(\begin{aligned} S_n &= a_1 + \dots + a_{n-1} + a_n = 4a_{n+1} - 4 \\
-) \quad S_{n-1} &= a_1 + \dots + a_{n-1} \quad \quad = 4a_n - 4 \\
& \underline{\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad} \\
a_n &= 4a_{n+1} - 4a_n \end{aligned}\)
\(\displaystyle \Rightarrow 5a_n = 4a_{n+1} \Rightarrow a_{n+1} = \frac{5}{4}a_n\)
\(\displaystyle S_n = 1 + \frac{5}{4} + \left(\frac{5}{4}\right)^2 + \dots + \left(\frac{5}{4}\right)^{n-1} = \frac{\left(\displaystyle\frac{5}{4}\right)^n - 1}{\displaystyle\frac{5}{4}-1} > 400\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{5}{4}\right)^n > 101\)
\(\Rightarrow n(\log 5 - 2\log 2) > 2\)
\(\Rightarrow 0.097n > 2.000 \Rightarrow n \ge 20\ldots\)
\( \Rightarrow\)所求 \(= 21\)

第11題
令\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(d\)為正整數，若\(7\le a\le b\le c\le d\le e\le 11\)，試求\((a,b,c,d,e)\)有　　　組不同解。
[解答]
所求\(\displaystyle=H^{5}_{5}=C^{9}_{5}=C^{9}_{4}=\frac{9\times 8\times 7\times 6}{24}=18\times 7=126\)

另外想要問第12題數列的問題，因為數列太多的技巧了~這一題要利用什麼技巧破題呢?有請各位老師解答。