一、填充題
1.
與\(115\)互質的正整數，由小到大排列形成一數列，例如：\(1,2,3,4,6,7,\dots\)，試問此數列第\(2026\)項為何？
將與105互質的所有正整數由小到大排成一個數列，則此數列第2014項為？
(103桃園高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1881&page=1#pid10251)
2.
小明將自己的生日，月份寫成兩質數的和，日期寫成兩質數的差，最後將此四個質數相乘，得到\(2590\)。試問小明的生日是幾月幾日？
3.
已知正實數\(a,b,c\)滿足\(a^{a}=2(\sqrt{b^{b}})=5(\sqrt[5]{c^{c}})=10\)，則\(\displaystyle\log[(a\log a)^{3}+(\frac{b}{2}\log b)^{3}+(\frac{c}{5}\log c)^{3}]+3abc(\log a)(\log b)(\log c)\)的值為何？
4.
已知實係數多項式方程式\(x^{3}+ax^{2}+bx+8=0\)恰有兩根相等且\(ab=8\)，則\(a-b\)的值為何？
5.
坐標平面上，已知水平線\(y=k\)上恰有相異四個點，可與點\(A(2,-2)\)、點\(B(-1,2)\)形成等腰三角形，試問這樣的\(k\)共有幾種可能？
坐標平面上有\(A(2,-2),B(-1,2)\)兩點，試問直線\(y=-6\)上有多少個點\(C\)使得\(ABC\)為等腰三角形？
(1)1 (2)2 (3)3 (4)4 (5)5
(115學測數學A)
6.
空間中有一個三角形，其三個頂點坐標分別為\(A(-3,-2,1)\)、\(B(3,1,1)\)、\(C(-1,0,2)\)，若此三角形的內切圓半徑為\(a+b\sqrt{c}+d\sqrt{e}+f\sqrt{g}\)（有理化至最簡根式），其中\(a,b,c,d,e,f,g\)都是有理數，則\(c+e+g\)的值為何？
7.
已知函數\(f\)滿足\(f(1+x)+f(1-x)=|x|^{2025}\)，則積分\(\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx\)之值為？
8.
給定一個初始數列，將相鄰兩項，用右邊的項減左邊的項後所得到的值寫在此兩項中間，這樣稱作一個操作。例如：初始數列為\(3,8\)，操作一次後變\(3,5,8\)，操作第二次變\(3,2,5,3,8\)，操作第三次後變成\(3,-1,2,3,5,-2,3,5,8\)。現在初始數列改為\(115,2026\)，試問操作\(20\)次後得到的數列，其各項總和為多少？
9.
已知正整數數列\(a_{n}(n\in\mathbb{N})\)滿足\(\displaystyle a_{1}=\frac{2^{2026}(2^{2026}-1)}{3}\)且\(a_{n+1}=\begin{cases}\displaystyle\frac{a_{n}}{2}&,a_{n}\text{為偶數}\\3a_{n}+1&,a_{n}\text{為奇數}\end{cases}\)，則此數列從第幾項開始為\(1\)，並且開始形成週期數列？
(3x+1猜想，
https://math.pro/db/thread-261-1-1.html)
10.
已知\(a\)、\(b\)、\(\theta\)為實數，其中\(a^{2}+b^{2}>4\)，則\(f(a,b,\theta)=\sqrt{(a-2\cos\theta)^{2}+(b-2\sin\theta)^{2}}+\sqrt{(a+3)^{2}+(b-4)^{2}}\)的最小值為何？
(我的教甄準備之路 兩根號的極值問題，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)
二、計算題
1.
已知\(x\)、\(y\)、\(z\)三數滿足\(x+y+z=1\)且\(x^{3}+y^{3}+z^{3}=2026\)，則\((x+y)(y+z)(z+x)\)之值為何？
(類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2543&page=1#pid15832)
2.
設\(\triangle ABC\)中，三邊長\(\overline{AB}=c\)，\(\overline{BC}=a\)，\(\overline{CA}=b\)且\(b>c\)，若\(\angle BAC=30^{\circ}\)，則\(\displaystyle\frac{b^{2}-c^{2}}{a^{2}}\)的最大值為何？
