101文華高中（代理）

試題與答案如附件。

想請教填充第15和16題,謝謝

不知如何直接做，所以我用推的

第16題

令 \(a_{n}=\sum^{n}_{k=1}k^3+3\times \sum^{n}_{k=1}k^5\)

則可知遞迴式為 \(a_{n+1}=a_{n}+(n+1)^3+3(n+1)^5\)

先觀察：

\(a_{1}=1+3=4=4\times 1^3\)

\(a_{2}=a_{1}+2^3+3\times 2^5=4\times 3^3\)

\(a_{3}=a_{2}+3^3+3\times 3^5=4\times 6^3\)

猜測 \(a_{n}=4\times (\frac{n(n+1)}{2})^3\)

因為 \(a_{n+1}=a_{n}+(n+1)^3+3(n+1)^5\)

\(=4\times (\frac{n(n+1)}{2})^3+(n+1)^3+3(n+1)^5\)

\(=\frac{n^3(n+1)^3}{2}+(n+1)^3(3n^2+6n+4)\)

\(=(n+1)^3\times (\frac{n^3+6n^2+12n+8}{2})\)

\(=(n+1)^3\times (\frac{(n+2)^3}{2})=4\times \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^3\)

由數學歸納法得知猜測正確！

代入\( n=10\) ，得 \( P=\frac{10\times 11}{2}=55\)

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-7 09:30 PM 編輯 ]

3.
滿足\( (m+n)^n=m^n+2012 \)之所有正整數數對\( (m,n) \)為

\( (m+n)^n=m^n+2320 \)，求所有可能的數對\( (m,n) \)為？
(100中壢高中，https://math.pro/db/thread-1119-1-1.html)

試求出所有正整數m、n，使\( (m+n)^n=m^n+2000 \)
(89北一女競試，http://web.fg.tp.edu.tw/~math/blog/data/exam/group2/pdf2/892t.pdf)

5.
請觀察右圖三角形陣列中數字之規則，令\( a_n \)為第n列之所有數字和，則\( a_{50} \)除以100之餘數為
\( \matrix{& & & & 0 & & & & & 第1列\cr
& & & 1 & & 1 & & & & 第2列\cr
& & 2 & & 2 & & 2 & & & 第3列\cr
& 3 & & 4 & & 4 & & 3 & & 第4列\cr
4 & & 7 & & 8 & & 7 & & 4 & 第5列}\)


Consider the triangular array of numbers with 0,1,2,3,... along the sides and interior numbers obtained by adding the two adjacent numbers in the previous row. Rows 1 through 6 are shown.
\( \matrix{& & & & & 0 & & & & & \cr
& & & & 1 & & 1 & & & &\cr
& & & 2 & & 2 & & 2 & & & \cr
&& 3 & & 4 & & 4 & & 3 & &\cr
& 4 & & 7 & & 8 & & 7 & & 4 &\cr
5 & & 11 & & 15 & & 15 & & 11 & & 5} \)
Let \( f(n) \) denote the sum of the numbers in row . What is the remainder when \( f(100) \) is divided by 100?
(A)12　(B)30　(C)50　(D)62　(E)74
(1995AMC12，http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=1995)

7.
與\( (6+\sqrt{34})^4 \)最接近的正整數為

求出與\( (4+\sqrt{15})^4 \)最接近的正整數
(87北一女競試，http://web.fg.tp.edu.tw/~math/blog/data/exam/group2/pdf2/871t.pdf)

9.
將6個A、6個B、6個C共18個字母排成一列，使得前6個字母沒有A，中間6個字母沒有B，後6個字母沒有C，則共有________種可能的排列方法。
https://math.pro/db/thread-454-1-1.html

11.
\( [\;x ]\; \)表示不大於x的最大整數，則\( \displaystyle \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} \)
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

14.
已知n為正整數，且\( 2n \)有28個正因數，\( 3n \)有30個正因數，則\( 6n \)有個正因數
(97全國高中聯招，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48958)

請教填充第2題
題目意思sqrt(a_k))=n^2, k=1~20, sigma(a_k)=? sigma((20^2)^2)??

請教第5題
每一列的和2+2^2+2^3+...+2^n-1
這公式怎麼導出來的

第7題
我是先令x=6+sqrt(34) , y=6-sqrt(34)
x^4+y^4=(x+y)(x^3+y^3)-xy(x^2+y^2)
慢慢做出來的

請問版上高手有其他解法?
若高次方時,這方法就很費時

謝謝
暑安

第七題..二項式定理..參考看看

第二題...參考看看..(PS:最後那個式子打錯了..自己更改一下是(20X21)/2..不是(20X21)/6)



[ 本帖最後由 andyhsiao 於 2012-7-9 04:02 PM 編輯 ]

請教各位老師第12題，感謝！

謝謝老師
我懂了

第12題..參考看看...最後等差X等級級數自己算一下^^