102台中女中

計算證明題

第一題(8分)，數據忘了，等價於【高中數學101】P.235的第6題，答案是5。

第二題(10分)，數據 \(\Large \sqrt{2},\sqrt{4},\sqrt{6},...,\sqrt{2n}\) 的算術平均為 \(\Large A_{n}\) ，標準差為 \(\Large \sigma_{n}\) 。求 \(\displaystyle \Large \lim_{n \to \infty}\frac{\sigma_{n}}{A_{n}}\)=?

第三題(10分)，函數  \( f(x)=x^3+ax\) 上以 P(?,?) 為切點的法線亦為此函數的切線。證明：實數 \(a>1\)。 (不太確定 ^^!!)

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 11:37 AM 編輯 ]

填充第8題

經過疊代可觀察出 \(x_n=10^n+4^n \cdot a\) 和 \(y_n=10^n-4^n \cdot a\)

因此所求 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{2}{n}log\overline{OP_n}=\lim_{n \to \infty}log\sqrt[n]{100^n+16^n \cdot a}=log100=2\)


備註：如果不經過疊代的話，也可以用遞迴關係式來推。
由 \(x_{n+1}=7x_n+3y_n\) 和 \(y_{n+1}=3x_n+7y_n\) 可求得 \(x_{n+1}+y_{n+1}=10(x_n+y_n)\)
因此 \(\{x_k+y_k\}\) 為等比數列，且首項 \(x_0+y_0=2\)，所以一般項為 \(x_n+y_n=2 \cdot 10^n\)
然後再由 \(x_{n+1}=7x_n+3y_n\) 將 \(y_n\) 替換掉可得 \(\{x_k\}\)的遞迴關係式為 \(x_{n+1}=4x_n+6 \cdot 10^n\)
......以下省略 ^^!!
只是這樣的方法有點慢，還是觀察比較快，呵呵
不過小弟在考場就是用遞迴在推，而且當時還推不出來，殘念 @@
同事是用矩陣論解這題，但線代忘光了，待人補吧 ^^

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 02:31 PM 編輯 ]

填充第12題

\(\displaystyle\left[\frac{10^{2010}+2011}{10^{670}+1}\right]\)

\(\displaystyle=\left[\frac{[(10^{670})^3+1]+2010}{10^{670}+1}\right]\)

\(\displaystyle=\left[(10^{670})^2-(10^{670})+1+\frac{2010}{10^{670}+1}\right]\)

\(\displaystyle=(10^{670})^2-(10^{670})+1+\left[\frac{2010}{10^{670}+1}\right]\)

\(\displaystyle=10^{1340}-10^{670}+1\)

\(\displaystyle=......001\)

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 02:47 PM 編輯 ]

來幫補一下特徵值的方法

填充 8.

\( \begin{bmatrix}x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7 & 3\\
3 & 7
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{n}\\
y_{n}
\end{bmatrix} \)，令 \( A=\begin{bmatrix}7 & 3\\
3 & 7
\end{bmatrix} \)。

則 \( A \) 的特徵多項式為 \( (x-7)^{2}-3^{2}=(x-10)(x-4) \)。故其特徵值為 \(10, 4\)，

分別對應之特徵向量為 \( \begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix} \) 和 \( \begin{bmatrix}1\\
-1
\end{bmatrix} \)。而 \( \begin{bmatrix}x_{1}\\
y_{1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix}+a\begin{bmatrix}1\\
-1
\end{bmatrix} \)。

故 \( \begin{bmatrix}x_{n}\\
y_{n}
\end{bmatrix}=10^{n}\begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix}+4^{n}\begin{bmatrix}a\\
-a
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10^{n}+4^{n}\cdot a\\
10^{n}-4^{n}\cdot a
\end{bmatrix} \)。

而 \( \frac{2}{n}\log\overline{OP_{n}}=\frac{1}{n}\log\left(\overline{OP_{n}}^{2}\right) \)， \( \overline{OP_{n}}^{2}=10^{2n}\cdot(2+t_{n}) \)，其中 \( t_n\to0 \), as \( n\to\infty \)。

故 \( \lim\limits _{n\to\infty}\frac{2}{n}\log\overline{OP}=\lim\limits _{n\to\infty}\frac{2n}{n}+\lim\limits _{n\to\infty}\frac{\log(2+t_{n})}{n}=2 \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-4 03:24 PM 編輯 ]

想請教填充3,4,7題

填 3.

注意 \( x^{7}=-1 \) 的根為 \( \omega, \omega^{3}, \omega^{5}, \omega^{7}, \omega^{9}, mega^{11},\omega^{13} \)，其中 \( \omega^{7}=-1 \)。

分解 \( x^{7}+1=(x+1)(x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1) \)。

因此 \( (x-\omega)(x-\omega^{3})(x-\omega^{5})(x-\omega^{7})(x-\omega^{11})(x-\omega^{13})=x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1 \)。

由餘式定理得，所求為 \( f(2)=43 \)。

填 4. \( f(-4) \) 的正負，可由最高次項決定 (可視為 4 進制)

因此若最高次數是 \( 6 \) 次，則有 \( 3^6 \) 個，同理若最高為 \( 5 \) 次，則有 \( 3^5 \) 個...

故總有 \( 3^6+3^5+\ldots+3+1 = 1093 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-4 06:38 PM 編輯 ]

填充第4題

若 \(a_6=-1\) ，則不論 \(a_5,...,a_0\) 怎麼選，結果都不合。
若 \(a_6=1\) ，則不論 \(a_5,...,a_0\) 怎麼選，結果都合，所以共有 \(3^6\) 種。
若 \(a_6=0\) ，則換討論 \(a_5\) 。

若 \(a_5=-1\) ，則不論 \(a_4,...,a_0\) 怎麼選，結果都不合。
若 \(a_5=1\) ，則不論 \(a_4,...,a_0\) 怎麼選，結果都合，所以共有 \(3^5\) 種。
若 \(a_5=0\) ，則換討論 \(a_4\) 。

......
依此類推，即可知此題的答案為 \(3^6+3^5+3^4+3^3+3^2+3^1+1=1093\)

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 07:05 PM 編輯 ]

請教各位填充第5、9題，(第9題我不知道在哪裡算過一次 @@!!)

2.
給定數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)滿足\( \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{a_1=\frac{1}{2} \cr a_n=3a_{n-1}-2(-1)^{n-1}},n=2,3,4,\ldots \)。試問\( a_{102} \)為　　位數。
[提示]
\( \displaystyle a_n-\frac{1}{2}(-1)^n=3(\; a_{n-1}-\frac{1}{2}(-1)^{n-1} )\; \)

設\( 4a_n=a_{n-1}+4 \)，且\( a_1=1 \)，則\( a_n \)的一般式為？
(93國立大里高中，https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

遞迴數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)，已知\( a_1=3 \)，且\( 5a_{n+1}=3a_2+2 \),( \( n \ge 2 \),\( n \in N \) )，則\( a_n \)之一般式為？
(99中興高中，https://math.pro/db/thread-1013-1-1.html)

已知\( a_1=1 \)，\( a_{n+1}=3a_n+\frac{3^n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \)，( \( n \in N \) )；則\( a_n= \)？
(100麗山高中，http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&p=6448#p6443)


11.
\( \displaystyle \frac{3^4+2^6}{7^4+2^6}\times \frac{11^4+2^6}{15^4+2^6}\times \frac{19^4+2^6}{23^4+2^6}\times \frac{27^4+2^6}{31^4+2^6}\times \frac{35^4+2^6}{39^4+2^6}\times \frac{43^4+2^6}{47^4+2^6}= \)？
[提示]
\( n^4+4 \times 2^4=[(n-2)^2+2^2][(n+2)^2+2^2] \)
(100中科實中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1107&page=1#pid3144)


12.
求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{2010}+2011}{10^{670}+1} \Bigg]\; \)的末三位數字為？

試求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{2001}}{10^{667}+2002} \Bigg]\; \)的末四位數，其中[x]表示小於或等於x的最大整數。
(2002TRML團體賽，96中一中)


－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
5.
求由五個平面：\( 2x+2y+z=9 \)、\( x+2y+2z=9 \)、\( x=0 \)、\( y=0 \)及\( z=0 \)所圍成之立體圖形的體積為？
[解答]
\( 2x+2y+z=9 \)交\( x \)軸於\( \displaystyle F(\frac{9}{2},0,0) \)，交\( y \)軸於\(  \displaystyle C(0,\frac{9}{2},0) \)，交\( z \)軸於\( A(0,0,9) \)
\( x+2y+2z=9 \)交\( x \)軸於\( \displaystyle B(9,0,0) \)，交\( y \)軸於\( \displaystyle C(0,\frac{9}{2},0) \)，交\( z \)軸於\( \displaystyle D(0,0,\frac{9}{2}) \)
兩平面還相交於\( E(3,0,3) \)

ODEF在xz平面上的點坐標依次為\( (0,0) \)、\( \displaystyle (0,\frac{9}{2}) \)、\( (3,3) \)、\( \displaystyle (\frac{9}{2},0) \)
四邊形ODEF面積為\( \displaystyle =\frac{1}{2} \Bigg\Vert\; \matrix{0 & 0 & 3 & \frac{9}{2} & 0 \cr 0 & \frac{9}{2} & 3 & 0 & 0} \Bigg\Vert\;=\frac{27}{2} \)

ODEFC體積為\( \displaystyle =\frac{1}{3} \times \frac{27}{2} \times \frac{9}{2}=\frac{81}{4} \)

謝謝

[ 本帖最後由 natureling 於 2013-5-4 08:41 PM 編輯 ]