99萬芳高中

題目和答案如附件

1.已知一三角形三高長為\( \displaystyle \frac{1}{3} \)，\( \displaystyle \frac{1}{5} \)，\( \displaystyle \frac{1}{7} \)，求此三角形面積為。
[出處，97高中數學能力競賽　台中區筆試二試題]

3.若\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}+\sqrt{x^4-3x^2-8x+20} \)，則\( f(x) \)的最小值為。

88高中數學能力競賽　台北市筆試二試題
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... h_TaipeiCity_02.pdf
95台中高農，h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41421
96彰師附工，
97文華高中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781
都考過這題


4.ABCD為正方形，P為內部一點，\( \overline{PA}=3 \)，\( \overline{PB}=4 \sqrt{2} \)，\( \overline{PD}=5 \sqrt{2} \)，求正方形ABCD的面積為。
[提示]
將△PAB以A點順時針旋轉\( 90^o \)，B點和D點重合

已知E為正方形ABCD內部一點，\( \overline{AE}=1 \)，\( \overline{BE}=5 \)，\( \overline{CE}=7 \)，求正方形ABCD的邊長？
(97玉井商工，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48752)

101.10.31補充
已知P為正方形ABCD內部一點，若\( \overline{AP}=\sqrt{10} \)、\( \sqrt{BP}=2 \)、\( \overline{CP}=\sqrt{2} \)，則正方形ABCD的面積為　　　平方單位
(101北區學測第二次模擬考)


7.求\(  6^{99}+7^{99}+8^{99} \) 除以 343 的餘數？

試求49除\( 6^{98}+8^{98} \)的餘數
(94高中數學能力競賽　高屏區筆試二試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... igh_Pingtung_02.pdf


11.求\( x^2-4xy+6y^2-2x-20y=29 \)的正整數解共幾組。
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3795

求方程式\( x^2-xy+y^2+x-2y=0 \)的全部整數解。
(建中通訊解題　第50期)

滿足\( a^2+b^2-a-8b-2ab+16=0 \)且\( 0<a,b<100 \)的正整數\( a,b \)中，a的最大值為何？
(91高中數學能力競賽　桃竹苗區筆試二試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... High_HsinChu_02.pdf

試求方程式\( \displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7} \)的所有整數解\( (x,y) \)
95嘉義高工，95基隆高中，https://math.pro/db/thread-865-1-3.html


12.一橢圓兩焦點為\( F_1 (-3,5) \)，\( F_2 (-10,9) \)且與\( y=x \)相切，求橢圓的長軸長

我的教甄準備之路　圓錐曲線的光學性質
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1807


14.對於任何一個三位數n，定義\( f(n) \)為n的三個數字和加上兩兩乘積再加上三個數字的乘積。求使得\( \displaystyle \frac{f(n)}{n}=1 \)的三位數共幾個？
[出處，建中通訊解題　第73期]
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3795


101.6.24補充
16.
設方程式\( x^4+x+1=0 \)的四個複數根為\( r_1,r_2,r_3,r_4 \)，若\( P(x)=x^2-3 \)，則\( P(r_1) \times P(r_2) \times P(r_3) \times P(r_4) \)

若\( x^4+x+1=0 \)之四根為\( r_1,r_2,r_3,r_4 \)，又\( p(x)=x^2-2 \)，求\( p(r_1) \times p(r_2) \times p(r_3) \times p(r_4) \)
(101新化高中，https://math.pro/db/thread-1428-1-1.html)

請教第16題的解題思維!

第 16 題：
設方程式 \(x^4+x+1=0\) 的四個複數根為 \(r_1,r_2,r_3,r_4\)。若 \(P(x)=x^2-3\)，則 \(P(r_1)\times P(r_2)\times P(r_3)\times P(r_4)=?\)      

解答：

令 \(f(x)=x^4+x+1 = \left(x-r_1\right)\left(x-r_2\right)\left(x-r_3\right)\left(x-r_4\right)\)，

因為 \(P(x)=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)=\left(\sqrt{3}-x\right)\left(-\sqrt{3}-x\right)\)

所以，所求 \(=P(r_1)\times P(r_2)\times P(r_3)\times P(r_4)\)

　　　　　 \(=\left(\sqrt{3}-r_1\right)\left(-\sqrt{3}-r_1\right)\times\left(\sqrt{3}-r_2\right)\left(-\sqrt{3}-r_2\right)\times\left(\sqrt{3}-r_3\right)\left(-\sqrt{3}-r_3\right)\times\left(\sqrt{3}-r_4\right)\left(-\sqrt{3}-r_4\right)\)

　　　　　\(=\left[\left(\sqrt{3}-r_1\right)\left(\sqrt{3}-r_2\right)\left(\sqrt{3}-r_3\right)\left(\sqrt{3}-r_4\right)\right]\times\left[\left(-\sqrt{3}-r_1\right)\left(-\sqrt{3}-r_2\right)\left(-\sqrt{3}-r_3\right)\left(-\sqrt{3}-r_4\right)\right]\)

　　　　　\(=f\left(\sqrt{3}\right)f\left(-\sqrt{3}\right)\)

　　　　　\(=\left[\left(\sqrt{3}\right)^3+\sqrt{3}+1\right]\cdot\left[\left(-\sqrt{3}\right)^3+\left(-\sqrt{3}\right)+1\right]\)

　　　　　\(=\left(10+\sqrt{3}\right)\left(10-\sqrt{3}\right)\)

　　　　　\(=97.\)

提供我的方法
令\( t=x^2 \)，\( t^2+\sqrt{t}+1=0 \)，\( \sqrt{t}^2=-(t^2+1)^2 \)
\( t^4+2t^2-t+1=0 \)是四根平方後的方程式
令\( u=t-3 \)，\( t=u+3 \)代入得\( (u+3)^4+2(u+3)^2-(u+3)+1=0 \)
\( u^4+12u^3+56u^2+119u+97=0 \)是四根平方再減3的方程式
四根之積為97

看起來還是weiye的方法比較好

第7題除以343的餘數不知如何下手？

第7題

題目：求 \(6^{99}+7^{99}+8^{99}\) 除以 \(343\) 的餘數？

解答：

\(343=7^3\)

\(6^{99}=\left(7-1\right)^{99}=C^{99}_0\left(-1\right)^{99}+C^{99}_1\left(-1\right)^{98}7+C^{99}_2\left(-1\right)^{97}7^2+7^3 m_1\)，其中 \(m_1\) 為整數。

\(7^{99}=7^3\times7^{96}.\)

\(8^{99}=\left(7+1\right)^{99}=C^{99}_0+C^{99}_1 7+C^{99}_27^2+7^3 m_2\)，其中 \(m_2\) 為整數。

因此，\(6^{99}+7^{99}+8^{99}=2C^{99}_1 7 + 7^{3}\left(m_1+m_2+7^{96}\right)=1386+7^{3}\left(m_1+m_2+7^{96}\right).\)

故，所求即為 \(1386\) 除以 \(343\) 之餘數，為 \(14.\)

太感謝

感謝瑋岳大  和 bugmen 老師的解說

再度向各位請教第五題
另外
第八題真的只能利用與x-y+10=0垂直的直線切橢園,得到兩條平行直線,再求此組平行線的距離這種方法嗎?
第17題的第四小題,我用偷吃步,把這個四面體轉換成O(0,0,0),A'(0,0,4),B'(1,0,0),C'(0,3,0)
求OA'B'C'的內切球半徑簡單多了
如果硬要由PABC解內切球半徑是不是計算上面會比較複雜?