109新竹建功國中部

請教13~15

1.
在一邊長為n的正方形方格中，以最左下的位置為起始點，向內螺旋的方式排列正整數，如圖所示，
為n=3與n=5的排列結果。若n=15，試求左下至右上的對角線上所有元素的和為　　　
781692543

13141516112232417211222518310212019498765

在一邊長為n的正方形方格中，以向內螺旋的方式排列正整數，如下所示，為n=5的排列結果。若n=27，試求左上至右下的對角線上所有元素的和。
11615141321724231231825221141920211056789
thepiano解題
(99家齊女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=958&page=1#pid2184)

2.
若x為自然數，A，B，C，D為x的最小的四個相異正因數，且滿足x=A2+B2+C2+D2，試求x=　　　。
Joy091解題
(100中壢高中二招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1170&page=3#pid3975)

8.
若有一枚特製的硬幣，出現反面機率為出現正面機率的兩倍，小明擲此硬幣8次，他從數線上的0開始，若投擲的錢幣出現正面，則向數線的正向走1單位；若出現反面，則向數線的負向走1單位。如果他在移動的過程中曾經達到數線正向4的機率為何　　　。

小杰投擲一枚公正的錢幣8次，他從數線上的0開始，若投擲的錢幣出現正面，則向數線的正向走1單位；若出現反面，則向數線的負向走1單位。如果他在移動的過程中曾達到數線正向4的機率為ba，其中a,b為互質的正整數，則a+b之值為何？(例如，他投擲錢幣出現「正反正正正正正正」的情形就有經過正向4)
(A)69   (B)151   (C)257   (D)293   (E)313
連結有解答
(2016AMC12，https://math.pro/db/thread-2445-1-1.html)

9.
2499=A+B ，且AB1000，則B−A之值為　　　。

2009=x+y 且0xy，求整數對(xy)？
https://math.pro/db/thread-664-1-1.html

12.
圓O中兩條互相垂直的弦將圓O分成四部分：S1、S2、S3、S4。若AB和CD的弦心距分別為3和5，則(S1+S3)−(S2+S4)=　　　。

一個半徑為10的圓被兩條互相垂直的直線分成四個部分，面積分別為R1、R2、R3、R4，且R1R2R3R4，若圓心到此兩條直線的距離分別為4和3，求R1−R2−R3+R4=？
(A)40　(B)44　(C)48　(D)52　(E)56
thepiano解題
(103台南一中數理暨語文資優班，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2283&page=1#pid13606)

13.
設D、E分別在ABC的AC和AB上，EBAE=1、DCAD=32，若ABC的面積為40，則四邊形AEFD的面積為　　　。

ABC中，CD交BE於F，已知BDF面積為10，BCF面積為20，CEF面積為16，則四邊形區域ADFE之面積為　　　。
(100苑裡高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1178&page=2#pid4270)

19.
將長方形ABCD沿著對角線AC摺起，使得平面ABC與平面ADC互相垂直，若\overline{AB}=2，\overline{BC}=1，試求\overline{BD}=　　　。
[公式]
\displaystyle \sqrt{\frac{a^4+b^4}{a^2+b^2}}

將一塊邊長\overline{AB}=a公分(a>0)、\overline{BC}=b公分(b>0)的長方形鐵片ABCD沿對角線\overline{BD}對摺後豎立，使得平面ABD與平面CBD垂直，則A、C兩點(在空間的距離\overline{AC}=　　　。
(107松山工農，https://math.pro/db/thread-2972-1-1.html)

20.
正方形ABCD中，\Delta ABF、\Delta CEF及\Delta DAE的面積分別為4、5、6，請問\Delta AEF的面積為何？

計算2.
有一平行四邊形ABCD，若過頂點A作一圓，且分別交\overline{AB}、\overline{AD}及對角線\overline{AC}或其延長線於E點、F點、G點。請利用托勒密定理證明：\overline{AC}\times \overline{AG}=\overline{AB}\times \overline{AE}+\overline{AD}\times \overline{AF}
hua0127解題
https://math.pro/db/thread-1896-1-1.html

計算4.
實係數方程式x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0有四根為\alpha、\beta、\gamma、\omega，其中\alpha+\beta=3+4i且\gamma \omega=5+2i，則a+b+c+d=　　　。

實係數方程式x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0有四根為\alpha、\beta、\gamma、\omega，其中\alpha+\beta=3+6i且\gamma\omega=4+3i，則a+b+c+d=　　　。
weiye解題
(107建國中學二招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2970&page=2#pid19057)

已知a,b,c,d為實數，且方程式x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0有四個虛根，其中兩根的乘積為13+i，另外兩根的和為3+4i，求 a,b之值?
https://math.pro/temp/qq60.pdf

感謝老師

第 14 題
正方形ABCD，其中\overline{CB}=\overline{CF}、\overline{EG}// \overline{AB}、\overline{EG}=3、\overline{FG}=1，求正方形邊長為何？

參考附圖，答案是 6

跟老師一樣延長了EG，結果就卡關了，平分角BCF才是關鍵啊，謝謝老師指點迷津!

想請教一下填充第4，5，6，11，15，16題
話說這份有答案嗎?
想確認一下
可能錯很多，煩請大力指正！

第8題
若有一枚特製的硬幣，出現反面機率為出現正面機率的兩倍，小明擲此硬幣8次，他從數線上的0開始，若投擲的錢幣出現正面，則向數線的正向走1單位；若出現反面，則向數線的負向走1單位。如果他在移動的過程中曾經達到數線正向4的機率為何　　　。

硬幣不是公正的，答案應是\displaystyle \frac{209}{6561}

第18題
直線L_1經A(1,1,0)、B(2,1,1)，直線L_2經C(1,1,1)、D(1,3,2)，另一直線L_3過E(2,0,1)且與L_1、L_2均相交，則L_2、L_3之交點坐標為　　　。

104桃園高中考過，答案應是 (1，-1，0)

其它您寫的答案都是正確的

第 4 題
若a=4sin20^{\circ}+tan20^{\circ}且\displaystyle b=\frac{1}{sin10^{\circ}}-4sin70^{\circ}，則\displaystyle \frac{a}{b}=　　　。
[解答]
分開算，a = √3，b = 2

第 5 題
將任意三位數重複寫兩次構成一個新的六位數，例如:135135、256256…。像這樣的六位數中，能被2821整除的最小數為　　　。
[解答]
2821 = 7 * 13 * 31
任意三位數重複寫兩次構成的六位數是 1001 = 7 * 11 * 13 的倍數
所以所求 = 1001 * 31 * 4

第 6 題
\Delta ABC中，\overline{CA}=\overline{CB}且∠C=20^{\circ}，分別在\overline{AC}、\overline{BC}上取D點、E點，使得∠DAE=10^{\circ}、∠EBD=20^{\circ}，請問∠AED的度數為　　　。

幾何名題，做法 google 一下

第 11 題
二次函數y=ax^2+bx+c的圖形一部分如圖所示，則a值的範圍為　　　。
[解答]
過 (0，1)，c = 1
過 (1，0)，a + b + c = 0，b = - a - 1
開口朝下，a < 0，頂點又在第二象限，b < 0
故 -1 < a < 0

感謝thepiano老師，已重新修改為正確答案
順手附上第八題修正後過程，供參考

如圖，在正五邊形ABCDE內取一點F，使得\overline{AF}=\overline{AE}、\overline{FC}⊥ \overline{CD}，求∠AFE=　　　度。

淺見提供