100慈大附中,臺南慈中

題目請見附件

2.
解聯立方程祖\( \cases{xy+x+y=-5 \cr x^2+xy+y^2=7} \)。
[提示]
令\( x+y=a \)，\( xy=b \)

同樣的技巧也能用在這題
解方程式\( \cases{x+xy+y=2+3 \sqrt{2} \cr x^2+y^2=6} \)。
(99松山高中，https://math.pro/db/thread-1044-1-1.html)


5.
已知\( (1+x+x^2)^{1000} \)的展開式為\( a_0+a_1x+...+a_{2000}x^{2000} \)，試求\( a_0+a_3+a_6+...+a_{1998}= \)？


6.
用7個"＋"號及5個"－"號排成一列，恰有4次變號的排法有多少種？

有3個「＋」，4個「－」，排成一列。若一列中一個「＋－」或一個「－＋」我們說：有一個「變號」。問3個「＋」，4個「－」排成一列，變號個數的期望值？
(98彰化女中，https://math.pro/db/thread-741-1-1.html)


9.
若函數f滿足\( f(93)=93 \)，且對每一正整數n，\( f(n)+f(n+3)=n^2 \)恆成立，則\( f(30)= \)？
(2004TRML團體賽)


12.
\( x,y \)為實數，已知\( x^2+xy+y^2=3x+3y+9 \)，若\( x^2+y^2 \)的最大值為M，最小值為N。求數對\( (M,N)= \)？

這裡可以找到答案
實數\( x,y \)滿足\( x^2+xy+y^2=3(x+y+3) \)，求\( x^2+y^2 \)之最大值與最小值？
(第七次合作杯數學有獎徵答，h ttp://web.tcfsh.tc.edu.tw/math/week.htm　連結已失效)

101.2.5補充
有一個大正立方體由27個單位立方體所組成，今有一個平面垂直且平分大正立方體內部之對角線，試問該平面與幾個單位立方體相交？

A large cube is formed by stacking 27 unit cubes. A plane is perpendicular to one of the internal diagonals of the large cube and bisects that diagonal. The number of unit cubes that the plane intersects is
(A)16 (B)17 (C)18 (D)19 (E)20
(1995AMC12，http://www.artofproblemsolving.c ... id=44&year=1995)

請較各位老師8,11,14題,謝謝

想請教第8題,謝謝

14 題，這是用黎曼和求極限

\(\displaystyle \sum\frac{1}{n}(1+\frac{k}{n})\sqrt{\frac{2k}{n}+(\frac{k}{n})^{2}}\to\int_{0}^{1} (1+x)\sqrt{2x+x^{2}}dx \)

然後變數代換 \( y=x^{2}+2x,\, dy=2(x+1)dx \)

\(\displaystyle \int_{0}^{1}(1+x)\sqrt{2x+x^{2}}dx=\frac{1}{3}y^{\frac{3}{2}}\Bigr|_{0}^{3}=\sqrt{3} \)

有人能解第8題嗎,謝謝

第 8 題：

設此 27 個單位立方體由原點往第一卦限開始堆疊，以組成體積為 \(27\) 的大正立方體，

則垂直且平分由 \((0,0,0)\) 連至 \((3,3,3)\) 的對角線線段之平面為 \(\displaystyle x+y+z-\frac{9}{2}=0\)

這 27 個小正立方體的頂點中，最靠近原點的那 27 個頂點分別是 \((i,j,k)\)，其中 \(0\leq i,j,k\leq 2\) 且 \(i,j,k\) 為整數，

這 27 個小正立方體的頂點中，最遠離原點的那 27 個頂點分別是 \((i+1,j+1,k+1)\)，其中 \(0\leq i,j,k\leq 2\) 且 \(i,j,k\) 為整數，

若平面 \(\displaystyle x+y+z-\frac{9}{2}=0\) 與「最靠近原點的那個頂點坐標為 \((i,j,k)\) 的單位正立方體」有相交，

則必滿足 \(\displaystyle i+j+k-\frac{9}{2}<0\) 且 \(\displaystyle (i+1)+(j+1)+(k+1)-\frac{9}{2}>0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{3}{2}<i+j+k<\frac{9}{2}\)

其中 \(0\leq i,j,k\leq 2\) 且 \(i,j,k\) 為整數，

若 \(i+j+k = 2\)，\(2=2+0+0\) (三組)\(= 1+1+0\) (三組)

若 \(i+j+k= 3\)，\(3= 2+1+0\) (六組)\(= 1+1+1\)(一組)

若 \(i+j+k = 4\)，\(4 = 2+2+0\) (三組)\(= 2+1+1\)(三組)


共 \(19\) 個 。



註：剛剛才算，因為沒有答案可以比對，如有漏列，煩請不吝告知，感謝。

小弟阿Q,第8題的解法很用力的看,看不出有錯誤的地方
唯一的小錯誤就是第6行的k打成j 了

感謝您的提醒，馬上修改。 ^__^

第8題，另一種看法(不是很嚴謹)如圖，此平面會通過3,4,5
所以共有19格