109嘉義高中代理
想請問9 10

7/24嘉中試題疑義回覆
第九題因足碼重複，故此題送分

第9題
正整數\(n\)是合數，將\(n\)的正因數由小而大依序記為\(d_1,d_2,d_3,\ldots,d_n\)，設\(f(n)=d_1+d_2+d_3,g(n)=d_{n-1}+d_n\)，若\(g(n)=(f(n))^3\)，試求所有可能的正整數\(n\)。

這題題目出得不好
應是將\(n\)的正因數由小而大依序記為\({{d}_{1}},{{d}_{2}},{{d}_{3}},\cdots ,{{d}_{k}}\)
然後\(g\left( n \right)={{d}_{k-1}}+{{d}_{k}}\)

\({{d}_{1}}=1,{{d}_{k}}=n\)
(1)\({{d}_{2}}=2\)
\(\begin{align}
  & \frac{n}{2}+n=g\left( n \right)={{\left( f\left( n \right) \right)}^{3}}={{\left( 1+2+{{d}_{3}} \right)}^{3}} \\
& n={{\left( 3+{{d}_{3}} \right)}^{3}}\times \frac{2}{3} \\
& {{d}_{3}}=3,n=144 \\
\end{align}\)
其餘不合

(2)\({{d}_{2}},{{d}_{3}},\cdots \cdots ,{{d}_{k}}\)均為奇數
\(\begin{align}
  & \frac{n}{{{d}_{2}}}+n=g\left( n \right)={{\left( f\left( n \right) \right)}^{3}}={{\left( 1+{{d}_{2}}+{{d}_{3}} \right)}^{3}} \\
& n={{\left( 1+{{d}_{2}}+{{d}_{3}} \right)}^{3}}\times \frac{{{d}_{2}}}{1+{{d}_{2}}} \\
\end{align}\)
\({{\left( 1+{{d}_{2}}+{{d}_{3}} \right)}^{3}}\)為奇數，\(1+{{d}_{2}}\)為偶數，不合

第 10 題
設\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，點\(D\)為\(\overline{BC}\)上一個動點，過\(D\)做一條平行\(\overline{AC}\)之直線交\(\overline{AB}\)於\(E\)點；過\(D\)做一條平行\(\overline{AB}\)之直線交\(\overline{AC}\)於\(F\)點，而\(D\)對直線\(EF\)的對稱點為\(D'\)，試證\(D'\)在\(\Delta ABC\)的外接圓上。

參考圖

因為學校沒有附上答案
這邊提供小弟自己算的答案
還請各位指教 有錯誤不吝提出

3. 6
4. 7
5.\([2,2\sqrt{2}]\)
7.\(\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4}\)
8. 5544

想請問第2題 , 個人認為是必然 , 但想不出很好的解釋 , 不知道有沒有其他說法

高一的話，就兩者都做一遍就好了

請問第八題如何計算 謝謝

在這個網站用扇形和著色這兩個關鍵字搜尋
用四色著色扣掉恰用三色和恰用兩色的情形就是答案

3.
令無窮級數\(\displaystyle S=\frac{3}{1^2}+\frac{5}{1^2+2^2}+\frac{7}{1^2+2^2+3^2}+\ldots+\frac{2n+1}{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}+\ldots\)，試求\(S\)之值。
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

4.
若三次多項式\(f(x)=2x^3-6x-3\)，則方程式\(f(f(x))=0\)有幾個相異實根？

考慮三次多項式\(f(x)=-x^3-3x^2+3\)，試回答下列問題
(1)在坐標平面上，試描繪\(y=f(x)\)的函數圖形，並標示極值所在點之坐標。
(2)令\(f(x)=0\)的實根為\(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\)，其中\(a_1<a_2<a_3\)。試求\(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\)分別在哪兩個相鄰整數之間？
(3)承(2)，試說明\(f(x)=a_1\)、\(f(x)=a_2\)、\(f(x)=a_3\)各有幾個相異實根？
(4)試求\(f(f(x))=0\)有幾個相異實根(註：\(f(f(x))=-(f(x))^3-3(f(x))^2+3\))。
(107指考數甲，https://math.pro/db/thread-2994-1-1.html)

5.
若\(-3\le x \le 1\)，試求\(f(x)=\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}\)的值域。
[提示]
\([(\sqrt{x+3})^2+(\sqrt{1-x})^2][1^2+1^2]\ge (\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x})^2\)
\(f(-3)=2\)，\(f(1)=2\)
(我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)

6.
一個邊長為2的正立方體\(ABCD-EFGH\)，點\(M\)為稜邊\(\overline{CG}\)的中點，點\(P\)和\(Q\)分別在稜邊\(\overline{BF}\)及\(\overline{DH}\)上，且\(A,P,M,Q\)為一平行四邊形的四個頂點，如右圖所示，今設定坐標系，使得\(D,A,C,H\)的坐標分別為\((0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)\)和\((0,0,2)\)，試證四角錐\(G-APMQ\)的體積為\(\displaystyle \frac{4}{3}\)。


一個邊長為1的正立方體\(ABCD-EFGH\)，點\(P\)為稜邊\(\overline{CG}\)的中點，點\(Q\)、\(R\)分別在稜邊\(\overline{BF}\)、\(\overline{DH}\)上，且\(A,Q,P,R\)為一平行四邊形的四個頂點，如下圖所示。今設定坐標系，使得\(D\)、\(A\)、\(C\)、\(H\)的坐標分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)，且\(\overline{BQ}=t\)，試回答下列問題。
(1)試求點\(P\)的坐標。
(2)試求向量\(\vec{AR}\)(以\(t\)的式子來表示)。
(3)試證明四角錐\(G-AQPR\)的體積是一個定值(與\(t\)無關)，並求此定值。
(4)當\(\displaystyle t=\frac{1}{4}\)，求點\(G\)到平行四邊形\(AQPR\)所在平面的距離。
(109指考數甲，https://math.pro/db/thread-3357-1-1.html)

解法出自忠明高中 陳冠州老師，https://www.ehanlin.com.tw/infos ... %95%B8%E7%94%B2.pdf

7.
設\(z\)為一複數，若\(\displaystyle \frac{z-1}{z+1}\)為純虛數，試求\(|\;z^2-z+2|\;\)的最小值。

已知\(z\)為複數，且\(\displaystyle \frac{z}{z-1}\)為純虛數，求\(|\;z-i|\;\)之最大值。
(98新港藝術高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=938&page=1#pid4656)
(99台中二中，https://math.pro/db/thread-934-1-1.html)

8.
某校新建的教學大樓一樓共有8個班級，每個班級的班牌都是相同的大小，若學校想用紅，綠，藍，黃四種顏色將班牌上色，每個班牌只上一色，上色的要求如下:
(1)相鄰的兩個班級班牌不同色
(2)第一個班級與第八個班級的班牌顏色不同
(3)四種顏色均須用到
根據以上考量，請問有幾種不同的上色方法？
(更多類題，https://math.pro/db/thread-499-1-1.html)

想請教第2題，為什麼是必然？