先做點簡單的
填充第1題：
做直角三角形得到關係式 \({{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( x-\frac{y}{2} \right)}^{2}}={{x}^{2}}\Rightarrow \left( 2x-5y \right)\left( 2x-y \right)=0\)
所以\(y=\frac{2}{5}x\)
填充第2題：
令半徑為r, 頂角為\(2\theta \), 則\(\cos 2\theta =\frac{3}{5}\), \(\cot \theta =2\), 兩圓連心線長度\(2r\),
作圖得知此關係式： \(r\left( \cot \theta +2\cos 2\theta +1 \right)=9\Rightarrow r=\frac{15}{7}\)
填充第4題：
化簡\(f\left( x \right)={{\left( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}-\frac{1}{2}\left( {{\sin }^{2}}2x \right)+2\cdot {{\left( \frac{1-\cos 2x}{2} \right)}^{2}}\) 得到
\(f\left( x \right)={{\left( \cos (2x)-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\) , 故最小值為 \(\frac{3}{4}\)
填充第9題：
\({{r}^{3}}=1-2r\Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{r}^{3k+1}}}=\frac{r}{1-{{r}^{3}}}=\frac{r}{1-\left( 1-2r \right)}=\frac{1}{2}\)
本題由勘根易知\(r\in \left( 0,1 \right)\), 故題目中\(r\in \left( 0.4,0.5 \right)\)條件去掉應也無傷大雅
計算第4題：
先推出\({{a}_{n}}=\left( 1+1+1 \right)+\left( 2+2+2+2+2 \right)+\ldots \)
先估算\(\sum\limits_{k=1}^{n}{k\left( 2k+1 \right)}\approx 2014\)之\(n\), 求出\(n\)最接近14, 取\(n=13\)時左式和為\(1729\),
表示\({{a}_{195}}=\left[ 1 \right]+\left[ 2 \right]+\ldots +\left[ 195 \right]=1729\),
由\((2014-1729)=14\cdot \left( 20 \right)+5=14\cdot \left( 21 \right)-9\)知再補\(20\)項此時和為\(2009\)最接近\(2014\), 所以所求\(N=215,{{a}_{N}}=2009\)
選擇第3題： (103.06.05：可參考後面 kb750523兄跟寸絲兄的想法，比較簡潔
做表如下，
\(\left[ \begin{matrix}
{} & Game & Win & Lose(Rest) \\
A & x & 22 & x-22 \\
B & y & 20 & y-20 \\
C & x & 32 & z-32 \\
\end{matrix} \right]\)
解方程式\(\left\{ \begin{align}
& x+y+z=2\left( 22+20+32 \right)=148 \\
& x=\left( y-20 \right)+\left( z-32 \right) \\
\end{align} \right.\), 解出 \(x=48\)
2014.06.03 觀念補充：
已知x+y+z=148，考慮4種情況
(1) 第一場是甲乙比或甲丙比，最後一場甲輸，
此時x=(y-20)+(z-32)+1 , x 解出不為整數，故此情況不合
(2) 第一場是甲乙比或甲丙比，最後一場乙輸或丙輸，
此時x=(y-20)+(z-32)+1-1 , x =48
(3) 第一場是乙丙比，最後一場甲輸，
此時x=(y-20)+(z-32) , x =48
(4) 第一場是乙丙比，最後一場乙輸或丙輸，
此時x=(y-20)+(z-32)-1 , x 解出不為整數，故此情況不合
故本題可能的情形下，均有算式 x=(y-20)+(z-32), x=48
(感謝 peter兄 提醒和 鋼琴老師 的觀念補充)
選擇第1題：
令短邊、長邊長度分別為\(x,y\), 利用面積與圖形的關係可得知聯立方程式
\(\left\{ \begin{align}
& \left( x+y \right)\cdot \frac{2r}{2}=\frac{25}{4}{{r}^{2}} \\
& {{\left( \left( y-r \right)+\left( x-r \right) \right)}^{2}}-{{\left( \left( y-r \right)-\left( x-r \right) \right)}^{2}}={{\left( 2r \right)}^{2}} \\
\end{align} \right.\), 整理得到
\(\left\{ \begin{align}
& x+y=\frac{25}{4}r \\
& xy=\frac{25}{4}{{r}^{2}} \\
\end{align} \right.\Rightarrow \frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{xy}=\frac{25}{4}\Rightarrow \left( x-4y \right)\left( 4x-y \right)=0\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{1}{4}\),
怎麼這麼多相切的幾何題…
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本帖最後由 hua0127 於 2014-6-5 05:18 PM 編輯 ]
