4.
\( \displaystyle \frac{3^4+2^6}{7^4+2^6}\times \frac{11^4+2^6}{15^4+2^6} \times \frac{19^4+2^6}{23^4+2^6}\times \frac{27^4+2^6}{31^4+2^6}\times \frac{35^4+2^6}{39^4+2^6}\times \frac{43^4+2^6}{47^4+2^6} \)
[提示]
\( n^4+4 \times 2^4=[(n-2)^2+2^2][(n+2)^2+2^2] \)
Compute \( \displaystyle \frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)} \).
(1987AIME)
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6.
若從1,2,...,13中任選出相異三數\( x,y,z \),且\( x<y<z \),則\( y-x \ge 3 \)且\( z-y \ge 3 \)成立之機率為
[解答]
\( a=13-z \ge 0 \)
\( b=x-1 \ge 0 \)
\( c=y-x-3 \ge 0 \)
\( d=z-y-3 \ge 0 \)
四式相加得
\( a+b+c+d=6 \)
求非負整數解的個數有\( \displaystyle H_6^4 \)種
滿足\( 1 \le a \le b < c \le d \le 8 \)的整數解\( (a,b,c,d) \)共有幾組?
(95新竹高商)
\( x_1=a-1 \ge 0 \)
\( x_2=b-a \ge 0 \)
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\( x_4=d-c \ge 0 \)
\( x_5=8-d \ge 0 \)
五式相加得
\( x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=6 \)
求非負整數解的個數有\( \displaystyle H_6^5 \)種
9.
\( \displaystyle \root 3 \of{\root 3 \of {2}-1}=\root 3 \of a+\root 3 \of b+\root 3 \of c \),其中\( a,b,c \in Q \)。求\( a+b+c= \)?
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12.
\( sin \alpha+cos \beta=a \),\( cos \alpha+sin \beta=b \),求\( sin(\alpha-\beta) \)?(以\( a,b \)表示)
If \( sin x+cos y=a \) and \( cos x+sin y=b \). Find the value of \( \displaystyle tan (\; \frac{x-y}{2} )\; \) in terms of a and b.
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13.
4個A、4個B、4個C排成一列,第1到第4位置稱為Ⅰ區,第5到第8位置稱為Ⅱ區,第9到第12位置稱為Ⅲ區,若A不在Ⅰ區,B不在Ⅱ區,C不在Ⅲ區的排列方法有幾種?
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