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標題: 103新北市高中聯招 [打印本頁]

作者: Ellipse 時間: 2014-6-1 14:06 標題: 103新北市高中聯招

如附件~

附件: 103新北市高中數學教甄試題.pdf (2014-6-1 14:06, 350.83 KB) / 該附件被下載次數 12118
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2310&k=e8005ccc51f1a41ace3480e867d79192&t=1714755881

附件: 103新北市高中數學教甄答案..pdf (2014-6-1 14:06, 163.87 KB) / 該附件被下載次數 11696
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2311&k=5bdd4f8dd7bb12d0736ae68a590faf42&t=1714755881

作者: bugmens 時間: 2014-6-1 14:12

填充2.
在一勾九寸、股十二寸的直角三角形內，有兩個直徑相同的圓，彼此相切，與邊也相切，如圖所示。試求這兩個相同圓的半徑。

平面上有一直角三角形ΔABC，∠C為直角，且\( \overline{AC}=1 \)、\( \overline{BC}=a \)，將兩半徑相等的圓置於ΔABC內部，並如圖與各邊相切，而且兩圓亦相切。求此圓的半徑長。
(101臺灣大學數學系學士班甄選入學，連結已失效h ttp://www.math.ntu.edu.tw/prospective/recruit.php?Sn=32)

104.5.20補充
《天地明察》是有關和算家澀川春海的傳記故事，也納入澀川春海與同時代日本算聖關孝和的競爭，將數學知識活動，譬如解題與出題等對話，極為成功地融入故事情節之中。下圖是該小說裡一道數學題目的插圖：
在一勾九寸、股十二寸的直角三角形內，有兩個直徑相同的圓，彼此相切，與邊也相切，如上圖所示。試求這兩個相同圓的半徑為　　　。
(104木柵高工，https://math.pro/db/thread-2259-1-1.html)

112.4.25補充
設整數\(x,y\)滿足\(logx+logy\)為整數，但\(logx\)、\(logy\)及\(logx^3y^2\)都不是整數，若\(x^3y^2\)是一個6位數，則求所有的整數數對\((x,y)\)。
(112台南女中，https://math.pro/db/thread-3730-1-1.html)

作者: Ellipse 時間: 2014-6-1 14:20

計算5:
鞋帶綁法~可看下列這本書,p47~p58
它的圖跟書中p50頁,一模一樣
http://facesfaces.pixnet.net/blog/post/24913656
書名:20個數學世界裡的奇妙謎題《數學可以救羅馬？！》
作者:伊恩‧史都華（Ian Stewart）
翻譯:陳品秀
出版社:臉譜
註:還有一種"歐式綁法"沒有出
鞋帶綁法長度結論是:美式<歐式<鞋店式

填充5:
多米諾骨牌效應? 竟跟911恐怖攻擊事件有關?
http://wiki.mbalib.com/zh-tw/%e5 ... c%e6%95%88%e5%ba%94

作者: tsusy 時間: 2014-6-1 14:39

選擇 2. 迴文數挺有趣的

x 表示非 0，a 可為 0 或非 0

一位數：x ；兩位數：xx
三位數 xax；四位數：xaax
五位數 xaaax；六位數：xaaaax

以上有 \( 9+9+90+90+900+900=1998 \)

\( 2014-1998=16 \)，七位迴文數的第 16 個即為所求

七位的前 10 個為 \( 100a001, a=0,1,2,\ldots,9 \)；

七位的第 11~16 個為 \( 101a101, a=0,1,2,3,4,5 \)

故第 2014 個迴文數為 1015101

填充 7. 人人為我我為人人

先將為我我為看成一樣 XXXX，排列數有 \( \frac{8!}{4!4!} \)

而 XXXX 中，為是最後一個 X，填上「我我為為」等三種排法，

故所求 \( \frac{8!}{4!4!}\cdot3=210 \)

計算 2. 由 \( \displaystyle a_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{(2-\sqrt{2})(a_{n}-\sqrt{2})}{a_{n}+2} \) 容易證明此。

填充 4. 另解. 柯西不等式

\( (\cos^{4}\theta+3\sin^{4}\theta)(1+\frac{1}{3})\geq(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)^{2} \)

\( \Rightarrow\cos^{4}\theta+3\sin^{4}\theta\geq\frac{3}{4} \)，等號在 \( \cos^{4}\theta=9\sin^{4}\theta \) 時成立，

即 \(\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}} \) 時，該函數有最小值 \( \frac{3}{4} \)。

作者: hua0127 時間: 2014-6-1 14:47

先做點簡單的

填充第1題：
做直角三角形得到關係式 \({{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( x-\frac{y}{2} \right)}^{2}}={{x}^{2}}\Rightarrow \left( 2x-5y \right)\left( 2x-y \right)=0\)
所以\(y=\frac{2}{5}x\)

填充第2題：
令半徑為r, 頂角為\(2\theta \), 則\(\cos 2\theta =\frac{3}{5}\), \(\cot \theta =2\), 兩圓連心線長度\(2r\),
作圖得知此關係式： \(r\left( \cot \theta +2\cos 2\theta +1 \right)=9\Rightarrow r=\frac{15}{7}\)

填充第4題：
化簡\(f\left( x \right)={{\left( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}-\frac{1}{2}\left( {{\sin }^{2}}2x \right)+2\cdot {{\left( \frac{1-\cos 2x}{2} \right)}^{2}}\) 得到
\(f\left( x \right)={{\left( \cos (2x)-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\) , 故最小值為 \(\frac{3}{4}\)

填充第9題：
\({{r}^{3}}=1-2r\Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{r}^{3k+1}}}=\frac{r}{1-{{r}^{3}}}=\frac{r}{1-\left( 1-2r \right)}=\frac{1}{2}\)
本題由勘根易知\(r\in \left( 0,1 \right)\), 故題目中\(r\in \left( 0.4,0.5 \right)\)條件去掉應也無傷大雅

計算第4題：
先推出\({{a}_{n}}=\left( 1+1+1 \right)+\left( 2+2+2+2+2 \right)+\ldots \)
先估算\(\sum\limits_{k=1}^{n}{k\left( 2k+1 \right)}\approx 2014\)之\(n\), 求出\(n\)最接近14, 取\(n=13\)時左式和為\(1729\),
表示\({{a}_{195}}=\left[ 1 \right]+\left[ 2 \right]+\ldots +\left[ 195 \right]=1729\),
由\((2014-1729)=14\cdot \left( 20 \right)+5=14\cdot \left( 21 \right)-9\)知再補\(20\)項此時和為\(2009\)最接近\(2014\), 所以所求\(N=215,{{a}_{N}}=2009\)

選擇第3題： (103.06.05：可參考後面 kb750523兄跟寸絲兄的想法，比較簡潔
做表如下，
\(\left[ \begin{matrix}
{} & Game & Win & Lose(Rest)  \\
A & x & 22 & x-22  \\
B & y & 20 & y-20  \\
C & x & 32 & z-32  \\
\end{matrix} \right]\)
解方程式\(\left\{ \begin{align}
  & x+y+z=2\left( 22+20+32 \right)=148 \\
& x=\left( y-20 \right)+\left( z-32 \right) \\
\end{align} \right.\), 解出 \(x=48\)

2014.06.03 觀念補充：
已知x+y+z=148，考慮4種情況
(1) 第一場是甲乙比或甲丙比，最後一場甲輸，
   此時x=(y-20)+(z-32)+1 , x 解出不為整數，故此情況不合
(2) 第一場是甲乙比或甲丙比，最後一場乙輸或丙輸，
   此時x=(y-20)+(z-32)+1-1 , x =48
(3) 第一場是乙丙比，最後一場甲輸，
   此時x=(y-20)+(z-32) , x =48
(4) 第一場是乙丙比，最後一場乙輸或丙輸，
   此時x=(y-20)+(z-32)-1 , x 解出不為整數，故此情況不合

故本題可能的情形下，均有算式 x=(y-20)+(z-32), x=48
(感謝 peter兄提醒和鋼琴老師的觀念補充)

選擇第1題：
令短邊、長邊長度分別為\(x,y\), 利用面積與圖形的關係可得知聯立方程式
\(\left\{ \begin{align}
  & \left( x+y \right)\cdot \frac{2r}{2}=\frac{25}{4}{{r}^{2}} \\
& {{\left( \left( y-r \right)+\left( x-r \right) \right)}^{2}}-{{\left( \left( y-r \right)-\left( x-r \right) \right)}^{2}}={{\left( 2r \right)}^{2}} \\
\end{align} \right.\), 整理得到
\(\left\{ \begin{align}
  & x+y=\frac{25}{4}r \\
& xy=\frac{25}{4}{{r}^{2}} \\
\end{align} \right.\Rightarrow \frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{xy}=\frac{25}{4}\Rightarrow \left( x-4y \right)\left( 4x-y \right)=0\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{1}{4}\),
怎麼這麼多相切的幾何題…

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-5 05:18 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-6-1 16:05

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-6-1 02:47 PM 發表
計算第4題：
先推出an=1+1+1+2+2+2+2+2+
先估算nk=1k2k+12014 之n, 求出n最接近14, 取n=13時左式和為1729,
表示a195=1+2++195=1729 ,
由(2014−1729)=1420+5=1421−9 知再補20項此時和為2009最接近2014, 所以所求N=215aN=2009

補充:
k<=√x<k+1 , k²<=x<k²+2k+1
x=k²,k²+1,..................,k²+2k
共有2k+1 個
[註:這題很像96北港高中考題]

作者: Superconan 時間: 2014-6-2 00:01 標題: 填充2 , 7

填充2.
是102年臺北市國中教甄最後一題
可作出一個以兩圓的圓心連線為斜邊，且與大直角三角形相似的小直角三角形
其兩股為 6r/5、8r/5，斜邊為 2r
再去做幾條平行的輔助線到大三角形上
利用 ( x + 6r/5 + r ) + ( r + 8r/5 + y ) = 9 + 12 = 21
與 x + 2r + y =15
可解出 r = 15/7

填充7.
我是這樣理解題目
最後一個「我」要出現在最後一個「為」字之前，所以直接將「我為」當作一字
人人為我 (我為) 人人
7! / 4! = 210
想法不知對不對

作者: 小胖達 時間: 2014-6-3 12:37 標題: 回復 7# Superconan 的帖子

填充7感覺是巧合?
如果「我」跟「為」的字數超過兩個這方法好像就不對了

小弟的想法：
因為「我」和「為」在此題意中為對稱的
所以「人人為我我為人人」的排列總方法數中
必恰有一半符合：最後一個「我」字要出現在最後一個「為」字之前
(亦有一半符合：最後一個「為」字要出現在最後一個「我」字之前)
得：
[8! / (4!)(2!)(2!)]*(1/2) = 210 即為所求

這個想法不知道對不對?

作者: peter0210 時間: 2014-6-3 21:31

請問hua0127老師

選擇3 小弟看了您的作法一直想不通為什麼x=y-20+z-32？

但小弟一直在想以下的特例似乎又覺得更怪了

第一天  甲(輸) vs 乙
第二天  丙(輸) vs 乙
第三天  甲 vs 乙(輸)
第三天  甲(輸) vs 丙

               game       win       lose
甲                3             1             2
乙                3             2             1
丙                2             1             1

但是此時乙輸的場次加上丙輸的場次等於2  卻不等於甲的比賽場次3場

再請老師幫我解惑！！

作者: hua0127 時間: 2014-6-3 22:01 標題: 回復 9# peter0210 的帖子

peter 兄你客氣了~
剛看了你的這個特例，我用我的想法下去帶
解出來的甲的場次是分數，
代表我原本的想法應該是有一些瑕疵，
我原本的想法是：
乙丙每輸一場~均表示甲的出場數會多一場
但看來可能要做個修正~
感謝你的偵錯，是我解法上太粗糙~~差點誤導大家XD

(備註：剛看到鋼琴老師有提供想法，感謝!!)

這個想法的瑕疵點目前看來有兩個：
(1)  一開始挑的兩個人的第一場的場次沒有被加到
(2)  最後一場結束時輸的那一方，我的算法會讓輸方外的其餘兩方再加一場

以peter兄舉的特例來看，怎麼樣補成對的式子呢?
(1) 甲的場次 = 乙輸的場次 +  丙輸的場次 + 第一場甲有比 =1+1+1=3
(2) 乙的場次 = 甲輸的場次 +  丙輸的場次 + 第一場乙有比 - 最後一場甲輸(因為甲輸後下一次是乙vs丙，根據我的算法乙的場次會多加1要扣回來) =2+1+1-1=3
(3) 丙的場次 = 甲輸的場次 +  乙輸的場次  - 最後一場甲輸(因為甲輸後下一次是乙vs丙，根據我的算法丙的場次會多加1要扣回來) =2+1-1=2
目前這樣可以解釋到

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-3 10:41 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-6-3 22:01 標題: 回復 9# peter0210 的帖子

還要考慮一種情形，就是第 1 場是甲和乙先比或甲和丙先比，而最後一場是甲輸
如此的話，x = y - 20 + z - 32 + 1
加上 x + y + z = 148
x = 97/2，不合

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-3 10:53 PM 編輯 ]

作者: hua0127 時間: 2014-6-3 23:49 標題: 回復 11# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師提供想法：)

如鋼琴老師所說，整理一下本題的情形有四大類：
已知x+y+z=148

(1) 第一場是甲乙比或甲丙比，最後一場甲輸，
   此時x=(y-20)+(z-32)+1 , x 解出不為整數，故此情況不合
(2) 第一場是甲乙比或甲丙比，最後一場乙輸或丙輸，
   此時x=(y-20)+(z-32)+1-1 , x =48
(3) 第一場是乙丙比，最後一場甲輸，
   此時x=(y-20)+(z-32) , x =48
(4) 第一場是乙丙比，最後一場乙輸或丙輸，
   此時x=(y-20)+(z-32)-1 , x 解出不為整數，故此情況不合

故本題可能的情形下，均有算式 x=(y-20)+(z-32), x=48
也算是一種蒙對的概念 (慚愧......

作者: tuhunger 時間: 2014-6-4 00:12 標題: 填充7

個人想法

圖片附件: 填7.png (2014-6-4 00:12, 6.89 KB) / 該附件被下載次數 4983
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2326&k=0118b0ffc8192b53b9a89cbb48b18a32&t=1714755881

作者: tuhunger 時間: 2014-6-4 01:11 標題: 填充6,8

有其它方法請不吝指教!

圖片附件: 填6,8.png (2014-6-4 01:11, 26.75 KB) / 該附件被下載次數 4890
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2327&k=0e177d5707922ae52d5153199c2ee95c&t=1714755881

作者: panda.xiong 時間: 2014-6-4 06:58

請問計算題第2提可以用數學歸納法證明嗎？我用數學歸納法證，可是好像沒有拿到分ㄝ？

作者: kb750523 時間: 2014-6-5 13:32

選擇3我的想法是
甲若休息了x場，則代表他輸x場或x+1場(最後一場他輸)
所以總共比了74場扣掉甲贏的22場剩下52場(為偶數) 所以除以2為26場(輸26休息26)

答案22+26=48

作者: tsusy 時間: 2014-6-5 13:42 標題: 回復 16# kb750523 的帖子

選擇 3. 方法同，但細節我再補充一下

\( 總場數 = 總勝場數 = 22 + 20 + 32 = 74 \)

74 場，記錄甲的勝、敗、休，並且移除勝後，會成敗休間隔
「敗」的下一場必為「休」，「休」的下一場要開始比賽直到「敗」為止，
因此必是敗、休間隔，敗場賽和休息數至多差 1 (不一定哪個大)

最後的計算就相同，\( 74 - 22 =52 \) 為偶，因此必為敗場矛和休息數相同，故勝敗合計為 \( 22 + 52/2 = 48 \)

作者: blackwhite 時間: 2014-6-5 14:55

引用:

原帖由 tuhunger 於 2014-6-4 01:11 AM 發表
有其它方法請不吝指教!

8.看到大家這麼努力我也提供一個想法給大家參考
1.求\( \vec{a} \)在\( \vec{n} \)上的正射影為\( \vec{v} \)
2.\( \vec{a}-\vec{v} \)即為所求

作者: hua0127 時間: 2014-6-5 16:30 標題: 回復 17# tsusy 的帖子

感謝 kb750523 兄、寸絲兄，
這一題這樣解法快多了~我的想法繞了依些不必要的路線，感恩。

作者: johnchang 時間: 2014-6-12 16:06 標題: 新手上路請多包涵

請教填充5的解法，感恩

作者: johnchang 時間: 2014-6-12 16:53 標題: 回復 20# johnchang 的帖子

想出了，謝謝大家

\( \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}r^{3k+1}=r^1+r^4+r^7+\ldots =\frac{r}{1-r^3} \)( \( r<1 \) )....(1)
又r為\( x^3+2x-1=0 \)的一根得\( r^3+2r-1=0 \)
所以\( 1-r^3=2r \)代入(1)得\( \displaystyle \frac{r}{2r}=\frac{1}{2} \)

作者: 阿光 時間: 2014-6-13 11:10

想請教計算第1題謝謝

作者: hua0127 時間: 2014-6-15 00:45 標題: 回復 23# 阿光的帖子

1樓橢圓兄PO的帖子中參考答案裡面有詳解喔

作者: acc10033 時間: 2014-6-18 14:49

想問計算２

作者: tuhunger 時間: 2014-6-18 17:34 標題: 計算3

我的方法參考看看

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2014-6-18 05:41 PM 編輯 ]

圖片附件: 未命名.png (2014-6-18 17:39, 22.38 KB) / 該附件被下載次數 5465
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2399&k=eea83a133d4e09e6506b085a7e256ae2&t=1714755881

作者: leo790124 時間: 2014-8-1 17:29 標題: 回復 14# tuhunger 的帖子

填充8.坐標空間中，設\( E \)為向量\( (1,-2,1) \)與\( (2,2,-3) \)所張出的平面。則向量\( (0,1,-1) \)對平面\( E \)的正射影向量為　　　。

想請問用正射影的定義算最後一步
怎嚜算不出答案呢???

\( \vec{n}=(1,-2,1)\times(2,2,-3)=(4,5,6) \)
\( \vec{m}=\vec{n}\times (0,1,-1)=(-11,4,4) \)
\( \vec{b}=\vec{n}\times \vec{m}=(4,82,-71) \in E \)
\( \vec{a} \)在\( \vec{b} \)的正射影\( \displaystyle \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |^2}\vec{b}=\frac{11}{\sqrt{4^2+82^2+71^2}}(4,82,-71)= \)

圖片附件: 填充第8題.gif (2014-11-15 08:50, 3.05 KB) / 該附件被下載次數 4909
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2605&k=5ee857d9128b282c261b2aba5775ab4d&t=1714755881

作者: cathy80609 時間: 2014-8-8 10:14 標題: 回復 26# leo790124 的帖子

不好意思，小弟看了一下您的式子

您在公式上寫的是地長的”平方”，

那分子的部分應該是用” a向量內積 b向量”最後再乘上b向量

a向量內積 b向量得到的應該是 -153 而不是 11哦~~

分母算出來是 11781，11781=153×77

恰好可以與分子做出來的內積約分，

最後就能得到正確的答案。

不好意思，對語法還在學習中，可能很難懂，敬請見諒。

如方法有誤，請不吝指教：）

[ 本帖最後由 cathy80609 於 2014-8-8 10:18 AM 編輯 ]

作者: fuji95313 時間: 2017-6-3 10:36 標題: 回復 9# tsusy的帖子

想請教計算2 如此變換後的接下來步驟是?

作者: thepiano 時間: 2017-6-3 11:17 標題: 回復 28# fuji95313 的帖子

請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2570

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