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標題: 103師大附中 [打印本頁]

作者: Ellipse 時間: 2014-5-5 18:24 標題: 103師大附中

題目請參考附件~

附件: 103師大附中數學試題.pdf (2014-5-5 18:24, 124.7 KB) / 該附件被下載次數 11886
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作者: Ellipse 時間: 2014-5-5 18:29

填4:
觀察法
f(1)=1 ,f(2^0.5)=2 ,f(3^0.5)=3 ,f(5^0.5)=5
猜f(x)=x^2

作者: Sandy 時間: 2014-5-5 18:40

引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-5-5 06:24 PM 發表
題目請參考附件~

第二大題與第三大題

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作者: Ellipse 時間: 2014-5-5 18:55

引用:

原帖由 Sandy 於 2014-5-5 06:40 PM 發表

第二大題與第三大題

三.2
那題極限是要問什麼?
是更正題?
正確答案應為0

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-5 07:05 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-5-5 19:01

填10:
考古題,有公式,所求=r/(2R)

提示:
三角形DEF面積=r^2*s/(2R)
三角形ABC面積=r*s
其中s=(1/2)*(a+b+c)
r為ABC內切圓半徑
R為ABC外接圓半徑

作者: Sandy 時間: 2014-5-5 19:19 標題: 回復 5# Ellipse 的帖子

可以問證明嗎？

作者: conecone123 時間: 2014-5-5 20:05 標題: 回復 6# Sandy 的帖子

h ttp://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=18820　連結已失效
裡面有詳細證明喔~
附贈103桃中一題

作者: Ellipse 時間: 2014-5-5 20:51

圖片2-1
提示:
(1+x)^103=C(103,0)+C(103,1)*x+.....................+C(103,103)*x^103--------------(*)
將1代入(*) ,將w代入(*) ,將w^2代入(*)
三式相加~

填充2
提示:
中間 -x*f(x) +x*f(x)
依定義化簡得-3*f ' (3)+ f(3)
= -3*(-5)+2=17

這次附中出的題目還蠻仁慈的~~

作者: Ellipse 時間: 2014-5-5 22:13

填9
令a=(103-x)^(1/5) , b=(x-21)^(1/5)
依題意可知
a+b=2 ----------(1)
a^5+b^5=82------------(2)
令a=1+t ,b=1-t---------(3) 代入(2)
得 10t^4+20t^2+2=82
t^4+2t^2-8=0 , t^2=2或-4不合
t=2^0.5 或 -2^0.5代入(3)
再解x即可

作者: Superconan 時間: 2014-5-5 23:12

103師大附中數學試題 (計算證明&錯解辨正題)

自己打的，給各位參考用

[ 本帖最後由 Superconan 於 2014-5-5 11:43 PM 編輯 ]

附件: 103師大附中數學試題 (計算證明&錯解辨正題).pdf (2014-5-5 23:43, 139.56 KB) / 該附件被下載次數 10145
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作者: leo790124 時間: 2014-5-5 23:27 標題: 回復 9# Ellipse 的帖子

第9題是否應該為無解
用代換的方式算出來是無實數解
電腦跑出來也是耶??
題目有出錯嗎

作者: broken 時間: 2014-5-6 00:24

想要請教第12題怎麼想
在考場裡排得半死還是錯了

作者: Aii 時間: 2014-5-6 02:02

填充12

假設1~6年級學生分別使他人產生的怨言數為A~F
例如排法為 1 2 5 6 4 3 => D=1,E=2,F=2

可知A=0,B≦1,C≦2,D≦3,E≦4
解 B+C+D+E+F=5

即可得71種

作者: Ellipse 時間: 2014-5-6 08:10

引用:

原帖由 leo790124 於 2014-5-5 11:27 PM 發表
第9題是否應該為無解
用代換的方式算出來是無實數解
電腦跑出來也是耶??
題目有出錯嗎

應該沒有錯
您用的軟體是哪一套?
請您po出所寫的代換法
可讓網友看一下錯在哪
參考:鋼琴兄的詳解
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3304

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-6 12:19 PM 編輯 ]

作者: leo790124 時間: 2014-5-6 08:34 標題: 回復 14# Ellipse 的帖子

我有找到錯了，我是令a=(103-x)^1/5 做代換的
謝謝老師。

[ 本帖最後由 leo790124 於 2014-5-6 01:43 PM 編輯 ]

作者: broken 時間: 2014-5-6 09:57 標題: 回復 13# Aii 的帖子

變得好簡單啊
我的思考轉換能力果然還不夠強
謝謝老師

作者: tsusy 時間: 2014-5-6 11:08 標題: 回復 2# Ellipse 的帖子

Ellipse 的提示，根本都是答案了

另外，填充 4，由多項式的恆等定理，可知三次以下的多項式，滿足此四個值的，有唯一性，也就是只有唯一解 \( f(x) = x^2 \)

作者: GGQ 時間: 2014-5-6 12:59 標題: 回復 13# Aii 的帖子

經過轉換後,簡單多了...學到了
所以等於
H(5,5)-H(5,3)-H(5,2)-H(5,1) = 126 - 35 - 15 - 5 = 71
感謝提醒

作者: leo790124 時間: 2014-5-6 14:23 標題: 回復 18# GGQ 的帖子

請教
H(5,5)-H(5,3)-H(5,2)-H(5,1)
剪掉後面的三個該如何解釋呢???

作者: GGQ 時間: 2014-5-6 16:20 標題: 回復 19# leo790124 的帖子

抱歉,我其實有偷懶寫
正確應該是 H(5,5)-H(5,3)-H(5,2)-H(5,1)-H(5,0)+H(5,0) 因為後兩項消除,我就沒寫出來了

B+C+D+E+F=5 的非負整數解 B<=1 , C<=2 , D<=3 , E<=4 , F<=5 ,

使用排容原理(此題是模仿瑋岳大大的解法 , 他有提供好多類似題可練 , 感謝他)

H(5,5)- H(5,3)-H(5,2)-H(5,1) - H(5,0) + H(5,0) + 0
=任排 - (B爆) - (C爆) - (D爆) - (E爆) + (B爆且C爆) +(剩下兩兩組合都沒有機會再爆了)

作者: acc10033 時間: 2014-5-6 19:48

想問１１題，沒什麼頭緒

另外第七題我是用柯西去解，不知道有沒有更容易的

作者: acc10033 時間: 2014-5-6 21:14

問錯了，是第六題…………

作者: thepiano 時間: 2014-5-6 21:18

第 6 題
分別找 A 和 B 在平面 E 上的投影點 C 和 D
則 P 為 CD 中點時，PA^2 + PB^2 有最小值

作者: tsusy 時間: 2014-5-6 21:38 標題: 回復 22# acc10033 的帖子

填6. 樓上 thepiano 大的方法，算是使用中線定理的結果

這類的題目，考古題裡也出現了不少

100中科實中：P 為球面 \( S:\,(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+z^{2}=4 \) 上的動點，\( A(3,4,0)、B(3,3,2) \) 為球面外兩點，求 \( \overline{PA}^{2}+\overline{PB}^{2} \) 的最大值。

100南港高工：設 \( A(-2,1,3),\, B(0,3,-3) \)，P 為直線 \( L:\,\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1} \) 上一點，求 \( \overline{AP}^{2}+\overline{BP}^{2} \) 有最小值時，此時 P 點的坐標為 _____ 。

100彰化藝術暨田中高中：空間中有三個點 \( A(-1,2,5), B(-2,1,2), P(0,b,c) \)，則 \( \overline{PA}^{2}+\overline{PB}^{2} \) 的最小值為 _____。

100文華高中代理：設 \( A(4,3,2), B(2,1,4) \)，點 P 在平面 \( E:\, x-2y-2z=-1 \) 上移動，則 \( \overline{PA}^{2}+\overline{PB}^{2} \) 的最小值為 _____ 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-25 09:20 AM 編輯 ]

作者: natureling 時間: 2014-5-6 21:47 標題: 回復 20# GGQ 的帖子

類似題是否可提供一下呢?^^"感謝

作者: shingjay176 時間: 2014-5-6 21:51 標題: 回復 21# acc10033 的帖子

填充題第十一題
我的第一個想法，第二步驟，用帶數字猜答案。我帶K=0(做猜答案的動作)，
最後參數式\(t\)的範圍要註明。t是任意整數，但不能等於0，因為等於0。
P點的軌跡就剛好跟A點重合。這樣就不能構成三角形ABP

和寸絲老師，在討論這個題目。他有提到另外一個想法。嚴謹度更高。
提示：三垂線定理
容我偷懶，放圖片。

第一題
先把數字分兩類 \(A = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\)，\(B = \left\{ {6,7,8,9} \right\}\)
\(P = \frac{{C_1^5C_2^4 + C_3^4}}{{C_3^9}} = \frac{{17}}{{42}}\) 第一類選一個且第二類選二個 + 第二類選三個

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-26 03:20 PM 編輯 ]

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作者: GGQ 時間: 2014-5-7 07:11 標題: 回復 25# natureling 的帖子

考古題瑋岳大大有解似題目(100年中壢第6題) 供練習謝謝
https://math.pro/db/thread-1119-2-2.html

還有 100香山填充13
https://math.pro/db/thread-1186-3-7.html

[ 本帖最後由 GGQ 於 2014-5-7 07:15 AM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2014-5-7 16:55 標題: 回復 26# shingjay176 的帖子

第七題解不等式\(\left( {{{103}^{2 - x}} - 103} \right)\left( {{4^x} - 9 \times {2^{x - 1}} + 2} \right) \ge 0\)得____

\[\begin{array}{l}
\left( {{{103}^{2 - x}} - 103} \right)\left( {{4^x} - 9 \times {2^{x - 1}} + 2} \right) \ge 0\\
\left( 1 \right)\;\;{103^{2 - x}} - 103 \ge 0\; \wedge \;\;\left( {{{\left( {{2^x}} \right)}^2} - \frac{9}{2} \times {2^x} + 2} \right) \ge 0\\
(2)\;\;{103^{2 - x}} - 103 \le 0\; \wedge \;\left( {{{\left( {{2^x}} \right)}^2} - \frac{9}{2} \times {2^x} + 2} \right) \le 0
\end{array}\]

上面兩種狀況取聯集，就可以找到最後的答案。

作者: shingjay176 時間: 2014-5-7 17:10 標題: 回復 28# shingjay176 的帖子

第九題求 \(\sqrt[5]{{103 - x}} + \sqrt[5]{{x - 21}} = 2\) 的所有實數解為

令 \(A = \sqrt[5]{{103 - x}}\;\;\;B = \sqrt[5]{{x - 21}}\)，\({A^5} + {B^5} = 82\)

\[\begin{array}{l}
{2^5} = {\left( {A + B} \right)^5}\\
\;\;\;\; = {A^5} + 5{A^4}B + 10{A^3}{B^2} + 10{A^2}{B^3} + 5A{B^4} + {B^5}\\
\;\;\;\; = \left( {{A^5} + {B^5}} \right) + 5AB\left( {{A^3} + {B^3}} \right) + 10\left( {A + B} \right)\\
\;\;\;\; = 82\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + 5AB\left\{ {{{\left( {A + B} \right)}^3} - 3AB\left( {A + B} \right)} \right\} + 10{\left( {AB} \right)^2} \times 2\\
\;\;\;\; = 82 + 5AB\left\{ {{2^3} - 3AB\left( 2 \right)} \right\} + 20{\left( {AB} \right)^2}\\
\Rightarrow {\left( {AB} \right)^2} - 4\left( {AB} \right) - 5 = 0\\
\;\;\;AB =  - 1\;\; \vee \;\;AB = 5
\end{array}\]

(1)
\(\begin{array}{l}
\sqrt[5]{{\left( {103 - x} \right)}}\sqrt[5]{{\left( {x - 21} \right)}} = 5\\
\sqrt[5]{{ - {x^2} + 124x - 2163}} = 5\\
- {x^2} + 124x - 2163 = 3125\\
{x^2} - 124x + 5288 = 0\\
{x^2} - 2\left( {62} \right)\left( x \right) + {62^2} =  - 5288 + 3844
\end{array}\)
無實數解

(2)
\(\begin{array}{l}
\sqrt[5]{{\left( {103 - x} \right)}}\sqrt[5]{{\left( {x - 21} \right)}} =  - 1\\
\sqrt[5]{{ - {x^2} + 124x - 2163}} =  - 1\\
- {x^2} + 124x - 2163 =  - 1\\
{x^2} - 124x + 2162 = 0\\
{x^2} - 2\left( {62} \right)\left( x \right) + {62^2} =  - 2162 + 3844\\
{x^2} - 2\left( {62} \right)\left( x \right) + {62^2} = 1682\\
x = 62 \pm \sqrt {1682}  = 62 \pm 29\sqrt 2
\end{array}\)

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-7 05:11 PM 編輯 ]

作者: shmilypon 時間: 2014-5-7 20:10

想請問計算那兩題偵錯題該怎麼下手呢?

作者: shingjay176 時間: 2014-5-7 20:57 標題: 回復 30# shmilypon 的帖子

哪裡有題目可以下載計算題

作者: Ellipse 時間: 2014-5-7 21:01

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-5-7 08:57 PM 發表
哪裡有題目可以下載計算題

在10樓~

作者: shingjay176 時間: 2014-5-7 22:22 標題: 回復 30# shmilypon 的帖子

計算題第一題，等等幫你貼上解答。
計算題第一題
若 \(C_0^{103} + C_3^{103} + C_6^{103} +  \cdots  + C_{102}^{103}=\frac{{{b^c} + d}}{a}\)，且\(a,b,c,d\)，為兩兩互質的正整數，求有序數組\((a,b,c,d)=?\)

(1) 考慮 \({x^3} - 1 = 0\)方程式下手，

\(\begin{array}{l}
\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0\\
\Rightarrow x = 1\; \vee \;{x^2} + x + 1 = 0\\
\Rightarrow w = \frac{{ - 1 + \sqrt 3 i}}{2},{w^2} = \frac{{ - 1 - \sqrt 3 i}}{2},{w^3} = 1\\
\;\;\;\;\;{w^2} + w + 1 = 0
\end{array}\)

(2)
\[\begin{array}{l}
{\left( {1 + x} \right)^{103}}\;\;\;\; = C_0^{103}{x^0} + C_1^{103}{x^1} + C_2^{103}{x^2} + C_3^{103}{x^3} + C_4^{103}{x^4} + C_5^{103}{x^5} +  \cdots  + C_{103}^{103}{x^{103}}\\
{\left( {1 + w} \right)^{103}}\;\;\; = C_0^{103}1 + C_1^{103}{w^1} + C_2^{103}{w^2} + C_3^{103}{w^3} + C_4^{103}{w^4} + C_5^{103}{w^5} +  \cdots  + C_{103}^{103}{w^{103}}\\
{\left( {1 + {w^2}} \right)^{103}} = C_0^{103}1 + C_1^{103}{w^2} + C_2^{103}{w^4} + C_3^{103}{w^6} + C_4^{103}{w^8} + C_5^{103}{w^{10}} +  \cdots  + C_{103}^{103}{w^{206}}\\
{\left( {1 + 1} \right)^{103}}\;\;\;\; = C_0^{103}1 + C_1^{103}{1^1} + \;\;\;C_2^{103}{1^2} + C_3^{103}{1^3} + C_4^{103}{1^4}{\rm{  }} + C_5^{103}{1^5}{\rm{ }} +  \cdots {\rm{ }} + C_{103}^{103}{1^{103}}\\
\\
{\left( {1 + w} \right)^{103}}\;{\rm{ + }}{\left( {1 + {w^{\rm{2}}}} \right)^{103}}{\rm{ + }}{\left( {1 + {\rm{1}}} \right)^{103}}\;\\
{\rm{ = 3}}\left( {C_0^{103}1} \right){\rm{ + }}\left( {C_1^{103}{w^1}{\rm{ + }}C_1^{103}{w^{\rm{2}}}{\rm{ + }}C_1^{103}{\rm{1}}} \right){\rm{ + }}\left( {C_2^{103}{w^2}{\rm{ + }}C_2^{103}{w^{\rm{4}}}{\rm{ + }}C_2^{103}{{\rm{1}}^{\rm{2}}}} \right)\\
{\rm{ + 3}}\left( {C_{\rm{3}}^{103}1} \right){\rm{ + }}......{\rm{ + }}.......{\rm{ + }}...........{\rm{ + }}........{\rm{ + }}.....................................{\rm{ + }}\\
\;\;\;\;\;\;\; \vdots {\rm{       }}\\
{\rm{ + 3}}\left( {{\rm{C}}_{{\rm{102}}}^{{\rm{103}}}} \right){\rm{ + }}\left( {C_{103}^{103}{w^{103}}{\rm{ + }}C_{103}^{103}{w^{{\rm{206}}}}{\rm{ + }}C_{103}^{103}{\rm{1}}} \right)\\
{\rm{ = 3}}\left( {C_0^{103}1{\rm{ + }}C_{\rm{3}}^{103}1{\rm{ + }} \cdots C_{{\rm{1}}0{\rm{2}}}^{103}1} \right)\\
\\
{\left( {1 + w} \right)^{103}}\;{\rm{ + }}{\left( {1 + {w^{\rm{2}}}} \right)^{103}}{\rm{ + }}{\left( {1 + {\rm{1}}} \right)^{103}}{\rm{ = }}{\left( { - {w^2}} \right)^{103}} + {\left( { - w} \right)^{103}} + {2^{103}} =  - {w^2} - w + {2^{103}} = 1 + {2^{103}}\\
\\
C_0^{103}1{\rm{ + }}C_{\rm{3}}^{103}1{\rm{ + }} \cdots C_{{\rm{1}}0{\rm{2}}}^{103}1 = \frac{{1 + {2^{103}}}}{3}
\end{array}\]

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-7 10:47 PM 編輯 ]

作者: shmilypon 時間: 2014-5-8 08:08 標題: 回復 33# shingjay176 的帖子

感謝您^^
方便請教計算的偵錯題嗎@@?
想了許久不知從何下手

作者: shingjay176 時間: 2014-5-8 11:50 標題: 回復 34# shmilypon 的帖子

偵錯題第二題
問題：求 \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{n}}  \times \frac{1}{{{k^2}}}\)=?
錯解：作區間\(\left[ {0,1} \right]\)的\(n\)等分分割，則\(\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{n}}  \times \frac{1}{{{k^2}}} = \int_0^1 {\frac{1}{{{x^2}}}dx = \left( {\frac{{ - 1}}{x}} \right)} \left| {_0^1} \right.\) 故極限不存在
解答
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{n}}  \times \frac{1}{{{k^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{k^2}}}}  = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n} \times \left( {\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} +  \cdots  + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right\}\)
(1) 證明 \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} +  \cdots  + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{6}\)

令 \(f\left( x \right)=\sin x\)求 \(\sin x\) 在 \(x=0\) 的泰勒展開式
\(f\left( x \right)=f\left( 0 \right)+\frac{{f}'\left( 0 \right)}{1!}x+\frac{{f}''\left( 0 \right)}{2!}{{x}^{2}}+\frac{{f}'''\left( 0 \right)}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}\left( \delta  \right)}{n!}{{x}^{n}}\ \ \ \delta \in \left( -\varepsilon ,\varepsilon  \right)\)
\(\begin{align}
  & f\left( 0 \right)=\sin 0=0\ ,\ {f}'\left( x \right)\ =\cos x\ ,\ {f}'\left( 0 \right)=\cos 0=1\ ,\ {f}''\left( x \right)=\sin x \\
& {f}''\left( 0 \right)=0\ ,\ {f}'''\left( x \right)=-\cos x\ ,\ {f}'''\left( 0 \right)=-1\ ,\ {{f}^{(4)}}\left( x \right)=\sin x\ ,\ {{f}^{(4)}}\left( 0 \right)=0 \\
& {{f}^{(5)}}\left( x \right)=\cos x\ ,\ {{f}^{(5)}}\left( 0 \right)=1\ ,\ \cdots  \\
\end{align}\)

(2)
\(\begin{align}
  & \sin x=\left\{ \frac{x}{1!}-\frac{{{x}^{3}}}{3!}+\frac{{{x}^{5}}}{5!}-\frac{{{x}^{7}}}{7!}+\frac{{{x}^{9}}}{9!}-\frac{{{x}^{11}}}{11!}+\cdots  \right\} \\
& \frac{\sin x}{x}=1-\frac{{{x}^{2}}}{3!}+\frac{{{x}^{4}}}{5!}-\frac{{{x}^{6}}}{7!}+\frac{{{x}^{8}}}{9!}-\frac{{{x}^{10}}}{11!}+\cdots \ \ \ \ \ \ \ \ x\ne 0 \\
\end{align}\)

(3) 當 \(\frac{\sin x}{x}=0\) 方程式的根，顯然是\( \pm \pi , \pm 2\pi , \pm 3\pi , \pm 4\pi , \cdots \;\;\;\;\;\left( {x \ne 0} \right)\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \;1 - \frac{{{x^2}}}{{3!}} + \frac{{{x^4}}}{{5!}} - \frac{{{x^6}}}{{7!}} + \frac{{{x^8}}}{{9!}} - \frac{{{x^{10}}}}{{11!}} +  \cdots \\
\;\; = \left( {1 - \frac{x}{\pi }} \right) \times \left( {1 + \frac{x}{\pi }} \right) \times \left( {1 - \frac{x}{{2\pi }}} \right) \times \left( {1 + \frac{x}{{2\pi }}} \right) \times \left( {1 - \frac{x}{{3\pi }}} \right) \times \left( {1 + \frac{x}{{3\pi }}} \right) \times  \cdots \\
\;\; = \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{\pi ^2}}}} \right) \times \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{2^2}{\pi ^2}}}} \right) \times \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{3^2}{\pi ^2}}}} \right) \times  \cdots
\end{array}\)
考慮\({{x}^{2}}\) 項的係數
\(\begin{align}
  & \frac{-1}{{{\pi }^{2}}}-\frac{1}{{{2}^{2}}{{\pi }^{2}}}-\frac{1}{{{3}^{2}}{{\pi }^{2}}}-\cdots \cdots =\frac{-1}{3!} \\
& \Rightarrow \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots \cdots =\frac{{{\pi }^{2}}}{6} \\
\end{align}\)
得證

(4)
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{n}}\times \frac{1}{{{k}^{2}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left\{ \frac{1}{n}\times \left( \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \right) \right\}\)
且 \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\) 與\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)\) 極限值皆存在
\(\begin{align}
  & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{n}}\times \frac{1}{{{k}^{2}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left\{ \frac{1}{n}\times \left( \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \right) \right\} \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\times \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)=0\times \frac{{{\pi }^{2}}}{6} \\
\end{align}\)    收斂到 \(0\)

學生錯誤的原因，\(\frac{1}{n}\) 很容易聯想到黎曼和 \(\left[ 0,1 \right]\) 區間做分割。
\(\Delta x=\frac{1-0}{n}\) ，分割點 \(\left\{ 0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\frac{4}{n},\cdots ,\frac{n}{n} \right\}\)
黎曼和的高是 \(f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}}\ ,\ f\left( \frac{1}{n} \right)={{n}^{2}}\ ,\ f\left( \frac{2}{n} \right)=\frac{{{n}^{2}}}{4}\ ,\cdots \)
黎曼和寫出來的式子是 \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{n}}f\left( \frac{i}{n} \right)\) 。這個題目是 \(\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{k}^{2}}}}\)  P級數求和

學生把這個題目當成黎曼和分割處理。底的部分 1/n, 是可以的。。
錯誤地方在黎曼和的高是用分割點代入。所以黎曼和寫出來的式子。不是這個題目要求的答案。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-10 10:00 AM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2014-5-8 15:23

引用:

原帖由 Sandy 於 2014-5-5 07:19 PM 發表
可以問證明嗎？

第十題證明如下圖檔

圖片附件: IMG_20140508_152236.JPG (2014-5-8 15:23, 351.64 KB) / 該附件被下載次數 5035
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2207&k=26ebace80194fbc44a200b6b352029b4&t=1714651735

作者: shingjay176 時間: 2014-5-8 19:57 標題: 回復 36# shingjay176 的帖子

偵錯題第一題
錯誤的地方出在，當等號成立時候，\(\sin x = \frac{4}{{\sin x}} \Rightarrow \sin x = \pm 2\)
等號根本不可能成立。

\[\begin{array}{l}
\;\;\;\;f\left( x \right) = \sin x + \frac{4}{{\sin x}}\\
\Rightarrow f'\left( x \right) = \cos x + \frac{{ - 4\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{\cos x{{\sin }^2}x - 4\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\
\Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \cos x{\sin ^2}x - 4\cos x = 0 \Rightarrow \cos x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = 4\cos x\\
\Rightarrow \cos x\left( {{{\cos }^2}x + 3} \right) = 0 \Rightarrow \cos x = 0
\end{array}\]
一階導函數判別遞增遞減，會發現在 \(\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\) 有最小值產生
\[\sin x + \frac{4}{{\sin x}} \Rightarrow \min \;\;5\]

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-8 08:24 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-5-8 20:53 標題: 回復 37# shingjay176 的帖子

偵錯1. 來個為了不想微分而算幾的技巧性算幾

\( \sin x+\frac{1}{\sin x}\geq2\sqrt{\sin x\cdot\frac{1}{\sin x}}=2 \)

\( \frac{3}{\sin x}\geq3 \)

兩式相加得 \( \sin x+\frac{4}{\sin x}\geq5 \)，且等號成立的條件皆為 \( x=\frac{\pi}{2} \)。

作者: shingjay176 時間: 2014-5-8 21:54

引用:

原帖由 GGQ 於 2014-5-6 04:20 PM 發表
抱歉,我其實有偷懶寫
正確應該是 H(5,5)-H(5,3)-H(5,2)-H(5,1)-H(5,0)+H(5,0) 因為後兩項消除,我就沒寫出來了

B+C+D+E+F=5 的非負整數解 B

這樣思考，每一組組合數。會一對一對應一種排列的情形嗎？
例如\((A,B,C,D,E,F)=(0,0,2,1,2,0)\)，會不會有兩種排列情形，對應這一種組合數

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-8 09:55 PM 編輯 ]

作者: natureling 時間: 2014-5-8 23:29

想請教此題可否用夾擠定理呢?感恩。只是這樣算  1/1^2+1/2^2+...的極限值用夾擠定理就會出錯@@
所以還是問一下,...感恩
1/1^2+1/2^2+...+1/^2  >1/1^2+/2*3 +1/3*4+...+1/n(n+1)=(3n+1)/(2n+1)
1/1^2+1/2^2+...+1/^2 <1/1^2+1/1*2+1/2*3+....+1/(n-1)n=(2n-1)/n
則
(3n+1 )/ (2n^2+2n)  < 1/n *sigma 1/k^2 <(2n-1)/n^
n-->無限大時,由夾擠定理,值=0

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-5-8 11:50 AM 發表
偵錯題第二題＿
問題：求 \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{n}} \times \frac{1}{{{k^2}}}\)=?
錯解：作區間\(\left[ {0,1} \right]\)的\(n\)等分分割，則\(\sum\limits_{k = 1}^ ...

作者: hua0127 時間: 2014-5-9 00:11 標題: 回復 40# natureling 的帖子

我的理解是這作法解這題答案應該是對的(好作法
而你說的極限值只能說用夾擠定理沒辦法得到理想的\( \displaystyle \frac{{{\pi }^{2}}}{6}\)
但是式子是沒錯的，也確實得到了一個估計的範圍
\( \displaystyle \frac{3}{2}\le \sum\limits_{k=1}^{\infty }{\frac{1}{{{k}^{2}}}\le 2}\)

作者: shingjay176 時間: 2014-5-9 08:30 標題: 回復 26# shingjay176 的帖子

怨言數與人數排列
填充題第十二題

圖片附件: IMG_20140509_082800.JPG (2014-5-9 08:30, 217.31 KB) / 該附件被下載次數 4601
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2211&k=408913fedbffb5bcc95ca96e0e4a304a&t=1714651735

作者: chiang 時間: 2014-5-9 09:14 標題: 請問填充第5題

不好意思
想請教一下填充第五題怎麼下手
謝謝

作者: shingjay176 時間: 2014-5-9 09:33 標題: 回復 43# chiang 的帖子

[attach]2213[/attach]等等貼答案給你。。
填充題十二題怨言數

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-9 07:02 PM 編輯 ]

圖片附件: 2014-05-09-09-44-50_deco.jpg (2014-5-9 09:45, 374.92 KB) / 該附件被下載次數 5459
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2217&k=143070d0b0d189eae8fc669d112a1e22&t=1714651735

圖片附件: 12-1.JPG (2014-5-9 19:02, 239.22 KB) / 該附件被下載次數 5531
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2224&k=d722c85ae9e04e20b830cd243cc08cb1&t=1714651735

圖片附件: 12-2.JPG (2014-5-9 19:02, 200.35 KB) / 該附件被下載次數 5433
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2225&k=25a5ba171b1eab110aba26f388b7e2b5&t=1714651735

作者: shingjay176 時間: 2014-5-9 09:57

填充題第五題

5.
取出一球為偶數機率\( \displaystyle \frac{3}{7} \)，奇數機率\( \displaystyle \frac{4}{7} \)。
設取出n次後，球號和為偶數機率\( a_n \)
　　　　　　　　和為奇數機率\( (1-a_n) \)
(1)
\( \displaystyle a_n=\frac{3}{7}a_{n-1}+\frac{4}{7}(1-a_{n-1}) \)
⇒\( 7a_n=-a_{n-1}+4 \)，\( 7(a_n-\alpha)=-(a_{n-1}-\alpha) \)，\( 7a_n-7\alpha=-a_{n-1}+\alpha \)
⇒\( 7a_n=-a_{n-1}+8\alpha \)，\( 8\alpha=4 \)，\( \displaystyle \alpha=\frac{1}{2} \)
(2)
\( 7(a_n-\alpha)=-(a_{n-1}-\alpha) \)
⇒\( \displaystyle 7(a_n-\frac{1}{2})=-(a_{n-1}-\frac{1}{2}) \)
(3)
　\( \displaystyle (-7)(a_2-\frac{1}{2})=(a_1-\frac{1}{2}) \)
　\( \displaystyle (-7)(a_3-\frac{1}{2})=(a_2-\frac{1}{2}) \)
　\( \displaystyle (-7)(a_4-\frac{1}{2})=(a_3-\frac{1}{2}) \)
　　　...
×\( \displaystyle (-7)(a_n-\frac{1}{2})=(a_{n-1}-\frac{1}{2}) \)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
\( (-7)^{n-1}(a_n-\frac{1}{2})=(\frac{3}{7}-\frac{1}{2})=\frac{6-7}{14}=\frac{-1}{14} \)

\( \displaystyle a_n=\frac{1}{2}+\frac{-1}{14}(\frac{-1}{7})^{n-1} \)

引用:

原帖由 chiang 於 2014-5-9 09:14 AM 發表
不好意思
想請教一下填充第五題怎麼下手
謝謝

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-16 09:49 PM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2014-5-9 11:55 標題: 回復 45# shingjay176 的帖子

計算證明題，第二題。。
如何下手？

作者: thepiano 時間: 2014-5-9 13:00

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-5-9 11:55 AM 發表
計算證明題，第二題。。
如何下手？

內分比和外分比

作者: shingjay176 時間: 2014-5-9 13:09 標題: 回復 47# thepiano 的帖子

謝啦。。我來證明看看

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-9 06:57 PM 編輯 ]

圖片附件: 由左證至右.JPG (2014-5-9 18:57, 245.51 KB) / 該附件被下載次數 5395
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2221&k=1c902c6590a7c9d948e7a0486920b007&t=1714651735

圖片附件: 由右證至左.JPG (2014-5-9 18:57, 423.93 KB) / 該附件被下載次數 5364
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2222&k=861032705e9912eb2c8f0cb74095f13d&t=1714651735

作者: chiang 時間: 2014-5-10 20:38

thanks.

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-5-9 09:57 AM 發表
填充題第五題

作者: Aii 時間: 2014-5-13 14:58 標題: 回復 39# shingjay176 的帖子

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-5-8 09:54 PM 發表

這樣思考，每一組組合數。會一對一對應一種排列的情形嗎？
例如(A,B,C,D,E,F)=(0,0,2,1,2,0)，會不會有兩種排列情形，對應這一種組合數

怨言數的想法，可想做排列組合中「相對位置」的題型。

(A,B,C,D,E,F)=(0,0,2,1,2,0)

B=0 =>2年級必在1年級之後                                        =>目前排法  1  2
C=2 =>3年級必在1、2年級之前                                  =>目前排法  3  1  2
D=1 =>4年級必在2年級之前，但在3、1年級之後       =>目前排法  3  1  4  2
E=2 =>5年級必在4、2年級之前，但在3、1年級之後 =>目前排法  3  1  5  4  2
F=0 =>6年級必在最後                                                 =>目前排法  3  1  5  4  2  6

依B~F的數字，排入2年級到6年級的位置，每一組答案就只會對應到一種排法!

供大家參考哩~

作者: kittyyaya 時間: 2014-5-20 21:37 標題: #26 shingjay176

請問 shingjay176 老師
如果如附件圖
AC*AB就不會等於 AP ?

#26 圖一
2
HA*HB =HA*HP
HA*HB =HB*HP
以上為何呢
煩請老師了
謝謝

[ 本帖最後由 kittyyaya 於 2014-5-20 09:42 PM 編輯 ]

附件: P5200233.rar (2014-5-20 21:41, 1.15 MB) / 該附件被下載次數 5954
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2265&k=789fd62eb1d30bd8148b89720c190e02&t=1714651735

作者: shingjay176 時間: 2014-5-20 22:16 標題: 回復 51# kittyyaya 的帖子

你的問題我沒看懂。版面上你輸入的符號是??

作者: kittyyaya 時間: 2014-5-20 22:32

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-5-20 10:16 PM 發表
你的問題我沒看懂。版面上你輸入的符號是??

內積

作者: shingjay176 時間: 2014-5-20 22:48 標題: 回復 53# kittyyaya 的帖子

證明如附件圖檔

證明：\( \vec{HA}\cdot \vec{HB}=\vec{HB}\cdot \vec{HC}=\vec{HC} \cdot \vec{HA} \)
pf：\( \vec{HA}\cdot \vec{BC}=0 \)
\( \Rightarrow \vec{HA}\cdot (\vec{BH}+\vec{HC})=0 \)
\( \Rightarrow \vec{HA}\cdot (\vec{HC}-\vec{HB})=0 \)
\( \Rightarrow \vec{HA}\cdot \vec{HC}=\vec{HA}\cdot \vec{HB} \)
同理可證

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-21 04:35 AM 編輯 ]

圖片附件: DSC_0017.JPG (2014-5-20 22:54, 267.39 KB) / 該附件被下載次數 6005
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2266&k=8f18df839f4551b2fc08aa779e739e91&t=1714651735

作者: kittyyaya 時間: 2014-5-20 23:56 標題: #51

請問shingjay176
#51 中的附件圖樣子
AC 內積 AB就不會等於 AP ?

作者: shingjay176 時間: 2014-5-21 10:04 標題: 回復 55# kittyyaya 的帖子

如附件
看你的問題，你附件的圖檔，那個符號是外積
內積之後出來是值，根本不會等於AP
小小抱怨，附件的圖檔，拍攝的沒有很清楚。
沒有對焦好，建議圖檔附件刪除。重新上傳。
我看圖看的很辛苦。

11.空間中直角坐標系中，\( A(1,0,1) \)，\( B(1,2,0) \)，\( C(0,0,1) \)動點P滿足C到△ABP所在平面的垂足恰為△ABP的垂心，動點P的軌跡方程式？

\( \vec{AB}=(0,2,-1) \)，\( \vec{AC}=(-1,0,0) \)，\( \vec{BC}=\{-1,-2,1\} \)
\( \vec{AB}\cdot \vec{AC}=0 \)，\( \vec{AB}⊥ \vec{AC} \)

所以三垂線\( \vec{HA}⊥ \vec{AB} \)
又H為垂心，因此P在\( \overline{AH} \)的延長線上

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-21 08:20 PM 編輯 ]

作者: kittyyaya 時間: 2014-5-22 10:59 標題: #26 shingjay176

shingjay176老師
抱歉 , 照片解析不夠加上問錯了
我是要問外積
問題如附件
麻煩老師謝謝

P5220233.rar (1.17 MB)

附件: P5220233.rar (2014-5-22 10:59, 1.17 MB) / 該附件被下載次數 6813
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2271&k=19d3d58188f19c2d51c0f71702145057&t=1714651735

作者: shingjay176 時間: 2014-5-22 19:18 標題: 回復 57# kittyyaya 的帖子

你的圖畫的情況不對喔。三角形ABP為直角三角形，所以A點就是垂心。C點在A點的垂直正上方。

作者: 紫月 時間: 2014-5-23 15:24

關於第12題，我的想法是一次放一個年級進來，可插隊

step 1 一年級
step 2 二年級抱怨增加 0 or 1
step 3 三年級抱怨增加 0,1 or 2
step 4 四年級抱怨增加 0,1,2 or 3
step 5 五年級抱怨增加 0,1,2,3 or 4
step 6 六年級抱怨增加 0,1,2,3,4 or 5
加總須為5

以下為不使用 H 的討論法，這題來說還不會太慢
5　                      1 = 1
4,1             　2 * 4 = 8
3,2                3 * 3 = 9
3,1,1          3 * 4C2 = 18
2,2,1          4C2 * 3 = 18
2,1,1,1       4* 4C3 = 16
1,1,1,1,1             1 = 1

加總71

作者: arend 時間: 2014-8-16 19:08

請教填充第8題
我是這樣想的: 平均值0.8, 標準差0.02=根號(pq/n) 以p=q=(1/2)代入得人數n=10000
若不支持的人多64人, 平均支持率為0.746, 不知錯哪裡
請不吝告知謝謝

作者: tsusy 時間: 2014-8-16 22:17 標題: 回復 60# arend 的帖子

填充. 錯誤的區間是用 \( \hat{p} =0.8 \) 算出來的... 怎麼會突然想帶 \( \frac12 \) ???

作者: arend 時間: 2014-8-16 22:34 標題: 回復 61# tsusy 的帖子

謝謝tsusy老師的點醒,我算出來了
我當時一時以未知人數下, 每個人支持與不支持機率各為1/2來看
這是平均支持度未知的前提下的假設

作者: arend 時間: 2014-9-12 19:10

引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-5-5 10:13 PM 發表
填9
令a=(103-x)^(1/5) , b=(x-21)^(1/5)
依題意可知
a+b=2 ----------(1)
a^5+b^5=82------------(2)
令a=1+t ,b=1-t---------(3) 代入(2)
得 10t^4+20t^2+2=82
t^4+2t^2-8=0 , t^2=2或-4不合
t=2^0.5 或 -2^0.5代 ...

請問Ellipse老師
為何在此可令a=1+t, b=1-t , 因為這樣就表示a與b對稱於1,
從a^5+b^5=82可否看出? 或者老師另有其他看法
謝謝

作者: cathy80609 時間: 2014-9-13 01:22 標題: 回復 63# arend 的帖子

arend老師您好，

以下是個人淺見，如有錯誤，煩請指正。

其實從 (103-x)^(1/5)+(x-21)^(1/5)=2

這邊來看，令a=(103-x)^(1/5) , b=(x-21)^(1/5) (Ellipse 老師抱歉，這段借我複製一下)

a + b =2 ，我有用大概幾個數下去算，感覺 a 和 b 好像不會同時都是正的 ( 更不可能都為負的 )，

所以猜測 a 和 b 為一正一負，

當 a 和 b 為一正一負而且 a + b = 2的時候，而且 a 和 b其中之一會大於2，

這樣一來 a 和 b 不管怎麼假設，都會像arend老師您所說的對稱於 1 ，

我猜想 Ellipse 老師會假設 1+t 和 1-t 是讓後面計算 a^5+b^5的部分會比較方便，

以上純屬小弟的猜測，如有錯誤的觀念，煩請各位老師指正。

作者: kyrandia 時間: 2014-9-20 17:22

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-5-6 09:51 PM 發表
填充題第十一題
我的第一個想法，第二步驟，用帶數字猜答案。我帶K=0(做猜答案的動作)，
最後參數式\(t\)的範圍要註明。t是任意整數，但不能等於0，因為等於0。
P點的軌跡就剛好跟A點重合。這樣就不能構成三角形ABP

和寸絲老 ...

興傑老師你好...
你在103師大附中  填充第11題  所提供的第一種解法當中
第二步驟  "令k=0  得H(0,0,1)"
我想請問的是為什麼可以令k=0
我的理解是老師應該是想要找一個好算的H  來推P點的軌跡
但是我在想的是如果是不同K值  會不會得到不同的軌跡
當然以公佈的答案來看似乎不會應該是相同的軌跡
但是我在思考老師這部份的解法時突然想到
for all k  也可以得到一個軌跡(暫且命名為軌跡1)  當然這個軌跡會有參數k 不過這個參數k(理論上)是可以消掉的
for k=0 可以得到老師所算出的軌跡(暫且命名為軌跡2)
軌跡2應該是軌跡1的子集
所以如何說明軌跡2等價於軌跡1
或許是我才疏學淺請老師指正    謝^2

作者: tsusy 時間: 2014-9-20 17:58 標題: 回復 65# kyrandia 的帖子

引用:

原帖由 kyrandia 於 2014-9-20 05:22 PM 發表

...
我的理解是老師應該是想要找一個好算的H 來推P點的軌跡
但是我在想的是如果是不同K值會不會得到不同的軌跡,,,

你在想的事不對...不同的 K 值，只會得到不同的 P 點(只有一個點)

這些不同的 K，和不同的 P 點，才形成一個軌跡

作者: kyrandia 時間: 2014-9-20 19:12

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-9-20 05:58 PM 發表

你在想的事不對...不同的 K 值，只會得到不同的 P 點(只有一個點)

這些不同的 K，和不同的 P 點，才形成一個軌跡

寸絲老師你好...
你的意思我懂....
但是我想的是  1個k值→1個H點→1個P點
因此若要得P點軌跡,則必須代入無限多的k值 , 以得到無限多的P點  才能得到P點軌跡
因此正確的操控方式不是應該以函數H(k)來得P點軌跡才是正確的嗎
而之前興傑老師操作的方式是令K=0而得H(0,0,1)
而在這個H點之下  應該只能得到1個P點注意此時P點是已知點,
並非變數因此他假設P(x,y,z)  用內積來做我就想不懂了  謝謝..

[ 本帖最後由 kyrandia 於 2014-9-20 07:16 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-9-20 19:57 標題: 回復 67# kyrandia 的帖子

太久沒做再次中計...一般我們想像每個過 \( \overline{AB} \) 的平面上，都可以找到唯一的 \( H, P \)

偏偏這題 \( \angle BAC = 90^\circ \) 在做怪，使得除了 \( k =0 \) 以外的 \( k \) 通通不合，找不到 \( H, P \) (如果按興傑老師的計算法方，在 \( k \neq 0 \) 會算出 \( P=A \) )。

所以找得到的所有 \( P \) 點，都在 \( k =0 \) 的平面上

作者: bch0722b 時間: 2014-11-10 17:45 標題: 2題求教

1.已知a1=5，a1+a2=25，a2+a3=125，a3+a4=625。依此規律，求an的一般項?
2.C的103取3+C的103取6+C的103取9+.....C的103取102=?

作者: thepiano 時間: 2014-11-10 18:56 標題: 回復 1# bch0722b 的帖子

第1題
\(\begin{align}
& {{a}_{1}}=5 \\
& {{a}_{2}}={{5}^{2}}-5 \\
& {{a}_{3}}={{5}^{3}}-{{5}^{2}}+5 \\
& {{a}_{4}}={{5}^{4}}-{{5}^{3}}+{{5}^{2}}-5 \\
& : \\
& : \\
& {{a}_{n}}={{5}^{n}}-{{5}^{n-1}}+{{5}^{n-2}}-\cdots \cdots -5{{\left( -1 \right)}^{n}}=\frac{{{5}^{n+1}}}{6}\left[ 1-{{\left( -\frac{1}{5} \right)}^{n}} \right] \\
\end{align}\)

作者: thepiano 時間: 2014-11-10 19:08 標題: 回復 1# bch0722b 的帖子

第2題
103 師大附中計算第1題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1879

作者: cefepime 時間: 2014-11-12 01:38

關於求級數和 C(103,0) + C(103,3) + C(103,6) ...(依序差3)... + C(103,102) 這類的問題，常用二項式定理配合 1 的虛立方根 ω 來做; 個人另有一想法。

首先關於 C(n,0) + C(n,2) + C(n,4) ... = 2ⁿ-¹ =  C(n,1) + C(n,3) + C(n,5) ... 這個式子，一般是用二項式定理證明，但其實亦可用"組合意義"解釋之:

左式代表 " n 個相異物，取偶數個之方法數"; 我們可以先對前 (n-1) 個物品任意取，方法有 2ⁿ-¹ 種，而以下第 n 物只剩 1 種取法 (使成偶數個)，這就解釋了式子成立的必然性。右式亦同理。

現在把上述思維，用在求 C(103,0) + C(103,3) + C(103,6) ... + C(103,102) 上。

上式代表 "103 個相異物，取3的倍數個之方法數"; 以下用 ∑ C(103,3k) 表示。

考慮對前102 個物品任意取，方法有 2¹°² 種; 以下對於已取 3m 或 3m+2 個之情形，第 103 物只有 1 種取法，而對已取 3m+1之情形，卻無法達到目標: 由於只有對 1 物取或不取的選擇，因此對於"超過1個"的情形將束手無策。

因此， ∑ C(103,3k) =  2¹°² - ∑ C(102,3m+1)，接著對 ∑ C(102,3m+1) 重複上述思維，以下類推，那麼:

∑ C(103,3k)

= 2¹°² - ∑ C(102,3m+1)

= 2¹°² - 2¹°¹ + ∑ C(101,3n+2)  (對3的餘數依次: 0-1-2 循環)
...

= 2¹°² - 2¹°¹ + 2¹°° ... -2³ + 2² - ∑C(2,3p+2)

=  (2²) * [(-2)¹°¹ -1] / (-2-1)  - C(2,2)

= (2¹°³ + 1) / 3

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