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標題: 101文華高中（代理） [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2012-7-6 00:29 標題: 101文華高中（代理）

試題與答案如附件。

附件: 101文華高中（代理）.zip (2012-7-8 00:28, 182.16 KB) / 該附件被下載次數 11095
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1348&k=61a2460f5f6151678490c8d474864754&t=1714500282

作者: 阿光 時間: 2012-7-7 19:27

想請教填充第15和16題,謝謝

作者: katama5667 時間: 2012-7-7 21:15 標題: 回復 2# 阿光的帖子

不知如何直接做，所以我用推的

第16題

令 \(a_{n}=\sum^{n}_{k=1}k^3+3\times \sum^{n}_{k=1}k^5\)

則可知遞迴式為 \(a_{n+1}=a_{n}+(n+1)^3+3(n+1)^5\)

先觀察：

\(a_{1}=1+3=4=4\times 1^3\)

\(a_{2}=a_{1}+2^3+3\times 2^5=4\times 3^3\)

\(a_{3}=a_{2}+3^3+3\times 3^5=4\times 6^3\)

猜測 \(a_{n}=4\times (\frac{n(n+1)}{2})^3\)

因為 \(a_{n+1}=a_{n}+(n+1)^3+3(n+1)^5\)

\(=4\times (\frac{n(n+1)}{2})^3+(n+1)^3+3(n+1)^5\)

\(=\frac{n^3(n+1)^3}{2}+(n+1)^3(3n^2+6n+4)\)

\(=(n+1)^3\times (\frac{n^3+6n^2+12n+8}{2})\)

\(=(n+1)^3\times (\frac{(n+2)^3}{2})=4\times \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^3\)

由數學歸納法得知猜測正確！

代入\( n=10\) ，得 \( P=\frac{10\times 11}{2}=55\)

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-7 09:30 PM 編輯 ]

作者: bugmens 時間: 2012-7-8 21:14

3.
滿足\( (m+n)^n=m^n+2012 \)之所有正整數數對\( (m,n) \)為

\( (m+n)^n=m^n+2320 \)，求所有可能的數對\( (m,n) \)為？
(100中壢高中，https://math.pro/db/thread-1119-1-1.html)

試求出所有正整數m、n，使\( (m+n)^n=m^n+2000 \)
(89北一女競試，http://web.fg.tp.edu.tw/~math/blog/data/exam/group2/pdf2/892t.pdf)

5.
請觀察右圖三角形陣列中數字之規則，令\( a_n \)為第n列之所有數字和，則\( a_{50} \)除以100之餘數為
\( \matrix{& & & & 0 & & & & & 第1列\cr
& & & 1 & & 1 & & & & 第2列\cr
& & 2 & & 2 & & 2 & & & 第3列\cr
& 3 & & 4 & & 4 & & 3 & & 第4列\cr
4 & & 7 & & 8 & & 7 & & 4 & 第5列}\)

Consider the triangular array of numbers with 0,1,2,3,... along the sides and interior numbers obtained by adding the two adjacent numbers in the previous row. Rows 1 through 6 are shown.
\( \matrix{& & & & & 0 & & & & & \cr
& & & & 1 & & 1 & & & &\cr
& & & 2 & & 2 & & 2 & & & \cr
&& 3 & & 4 & & 4 & & 3 & &\cr
& 4 & & 7 & & 8 & & 7 & & 4 &\cr
5 & & 11 & & 15 & & 15 & & 11 & & 5} \)
Let \( f(n) \) denote the sum of the numbers in row . What is the remainder when \( f(100) \) is divided by 100?
(A)12　(B)30　(C)50　(D)62　(E)74
(1995AMC12，http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=1995)

7.
與\( (6+\sqrt{34})^4 \)最接近的正整數為

求出與\( (4+\sqrt{15})^4 \)最接近的正整數
(87北一女競試，http://web.fg.tp.edu.tw/~math/blog/data/exam/group2/pdf2/871t.pdf)

9.
將6個A、6個B、6個C共18個字母排成一列，使得前6個字母沒有A，中間6個字母沒有B，後6個字母沒有C，則共有________種可能的排列方法。
https://math.pro/db/thread-454-1-1.html

11.
\( [\;x ]\; \)表示不大於x的最大整數，則\( \displaystyle \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} \)
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

14.
已知n為正整數，且\( 2n \)有28個正因數，\( 3n \)有30個正因數，則\( 6n \)有個正因數
(97全國高中聯招，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48958)

作者: arend 時間: 2012-7-9 15:07

請教填充第2題
題目意思sqrt(a_k))=n^2, k=1~20, sigma(a_k)=? sigma((20^2)^2)??

請教第5題
每一列的和2+2^2+2^3+...+2^n-1
這公式怎麼導出來的

第7題
我是先令x=6+sqrt(34) , y=6-sqrt(34)
x^4+y^4=(x+y)(x^3+y^3)-xy(x^2+y^2)
慢慢做出來的

請問版上高手有其他解法?
若高次方時,這方法就很費時

謝謝
暑安

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-9 15:38

第七題..二項式定理..參考看看

圖片附件: 123.jpg (2012-7-9 15:38, 60.32 KB) / 該附件被下載次數 8733
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1366&k=371c338e02105f2659bd31e158b7cb5c&t=1714500282

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-9 15:56

第二題...參考看看..(PS:最後那個式子打錯了..自己更改一下是(20X21)/2..不是(20X21)/6)

[ 本帖最後由 andyhsiao 於 2012-7-9 04:02 PM 編輯 ]

圖片附件: 12.jpg (2012-7-9 15:56, 58.2 KB) / 該附件被下載次數 8567
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1367&k=57b48f313872463d42d5b20a27e8d590&t=1714500282

作者: Duncan 時間: 2012-7-9 16:19

請教各位老師第12題，感謝！

作者: arend 時間: 2012-7-9 16:45

引用:

原帖由 andyhsiao 於 2012-7-9 03:56 PM 發表
第二題...參考看看..(PS:最後那個式子打錯了..自己更改一下是(20X21)/2..不是(20X21)/6)

1367

謝謝老師
我懂了

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-9 17:01

第12題..參考看看...最後等差X等級級數自己算一下^^

圖片附件: 1.jpg (2012-7-9 17:01, 82.68 KB) / 該附件被下載次數 7475
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1368&k=3fde0f956f2b1c381647e13c7d52e9fe&t=1714500282

作者: weiye 時間: 2012-7-9 19:25 標題: 回復 8# Duncan 的帖子

第 12 題：

設此台車跑完圈數的期望值為 \(x\)，則

\(\displaystyle x = \left(1-\frac{1}{9}\right)\left(1-\frac{1}{16}\right)(1+x)\)

可得 \(x=5\)

作者: tunmu 時間: 2012-7-11 14:38

可以請問一下：第6題、第13題？

[ 本帖最後由 tunmu 於 2012-7-11 02:44 PM 編輯 ]

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-11 15:56

第六題...參考看看

圖片附件: 2.jpg (2012-7-11 15:56, 56.51 KB) / 該附件被下載次數 5351
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1380&k=41ab640aee662bc1a921f948df3da64b&t=1714500282

圖片附件: 1.jpg (2012-7-11 15:56, 30.19 KB) / 該附件被下載次數 5209
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1381&k=7ae4f9a15eae9d08a5276e3143449d6b&t=1714500282

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-11 16:38

希望看得懂....不知道有沒有更好的法^^...有錯請指教

圖片附件: 3.jpg (2012-7-11 16:38, 100.45 KB) / 該附件被下載次數 5169
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1382&k=4a1cc93966fd05e4e8f39101a90dddd8&t=1714500282

作者: weiye 時間: 2012-7-11 17:33 標題: 回復 14# andyhsiao 的帖子

第 13 題：

有序數對 \((A,B)\) 有 \((2\times3-1)(2\times5-1)(2\times3-1)=225\) 組。

當中只有一組 \((A,B)\) 會與 \((B,A)\) 相同，也就是 \((8100,8100)\) 這組。

因此，所求為 \(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot(225-1)+1=113.\)

類題： 101中正預校第 14 題：https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1383&page=2#pid6119
　　　 101清水高中填充第 13 題：https://math.pro/db/thread-1393-1-1.html

作者: tunmu 時間: 2012-7-11 22:09

感謝 andyhsiao大大和瑋岳學長的解題…

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-11 22:10 標題: 回復 15# weiye 的帖子

好方法...快多了...謝謝

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-22 17:22

引用:

原帖由阿光於 2012-7-7 07:27 PM 發表
想請教填充第15和16題,謝謝

第15題...參考看看....

圖片附件: 15.png (2012-7-22 17:22, 119.35 KB) / 該附件被下載次數 5131
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1405&k=92a4590b7ea39c483a9f58ce797ed70e&t=1714500282

作者: weiye 時間: 2012-7-22 18:39 標題: 回復 18# andyhsiao 的帖子

第 15 題（另一種解法）：

用 \(O,A,B,C,D\) 五色塗 \(n\) 個環狀區域，且第一個區域要塗 \(O\) 這一色，

塗法有 \(a_n=\frac{1}{5}\left((5-1)^n+(5-1)\cdot(-1)^n\right).\)

註：套用 https://math.pro/db/thread-499-1-1.html 的公式，

　　乘以 \(\frac{1}{5}\) 是因為套用的公式中的第一個區域原本有 \(O,A,B,C,D\) 五種顏色可以塗，

　　到此題被限制只能塗 \(O\)，所以相差五倍。

作者: casanova 時間: 2012-8-2 11:25

填充題第8題我的算法：

(1.) 「呀」插入「人生人生」有五種情形，根據每種情形，再將四個「海」插入；75種。
(2.) 「呀」插入「生人生人」有五種情形，根據每種情形，再將四個「海」插入；75種。
(3.) 「呀」插入「人人生生」有五種情形，根據每種情形，再將四個「海」插入；38種。
(4.) 「呀」插入「生生人人」有五種情形，根據每種情形，再將四個「海」插入；38種。
(5.) 「呀」插入「人生生人」有五種情形，根據每種情形，再將四個「海」插入；55種。
(6.) 「呀」插入「生人人生」有五種情形，根據每種情形，再將四個「海」插入；55種。

所求\(=2(75+38+55)=336\)

好不容易才想出這個方法，過程中不小心還算錯好幾次@@

請問有沒有別的算法呢？以別的觀點或更快更好的方法。

[ 本帖最後由 casanova 於 2012-8-2 11:27 AM 編輯 ]

作者: maymay 時間: 2012-8-2 17:30 標題: 回復 20# casanova 的帖子

同AAAA BB CC D 同字母不相鄰
AAAA不相鄰-(AAAA不相鄰中BB或CC相鄰)=

=336

圖片附件: 未命名.PNG (2012-8-2 17:35, 949 Bytes) / 該附件被下載次數 4927
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1417&k=0918844f5b80a649233b72eab10abd2e&t=1714500282

作者: 阿光 時間: 2012-9-17 13:08

想請教填充第10題,謝謝

作者: weiye 時間: 2012-9-17 17:19 標題: 回復 22# 阿光的帖子

填充第 10 題：

以●表示被選出來的球，以○表示沒有被選出來的球。

分母 \(n(A)=H_{11}^4=364\)

　解釋

　　　先將任兩個●之間放入三個○ →　●○○○●○○○●

　　　剩下的11個○隨意放入由三個●所間隔開的四個區域中。

　　　由左至右看●是放在第幾個位置，就表示第幾號被選出來了。

分子 \(n(A\cap B)=H_7^3+H_{11}^2=48\)

　原理同上，可以先自己想看看要怎樣解釋。：）

所求＝\(\displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{12}{91}.\)

作者: natureling 時間: 2012-9-22 22:16 標題: 回復 11# weiye 的帖子

老師呀...可以說明一下為何是(1+x)嗎?..感謝您!

作者: weiye 時間: 2012-9-22 22:32 標題: 回復 24# natureling 的帖子

有 \(\displaystyle\left(1-\frac{1}{9}\right)\left(1-\frac{1}{16}\right)\) 的機率~

會跑完一圈，以及得到在第一圈之後未來圈數的期望值。

作者: arend 時間: 2012-9-23 16:14

引用:

原帖由 weiye 於 2012-7-11 05:33 PM 發表
第 13 題：

有序數對 \((A,B)\) 有 \((2\times3-1)(2\times5-1)(2\times3-1)=225\) 組。

請教一下,上面這一行看不太懂
謝謝

作者: weiye 時間: 2012-9-23 20:11 標題: 回復 26# arend 的帖子

在後面的『類題： 101中正預校第 14 題』裡面有詳細的解釋。

作者: arend 時間: 2012-9-23 22:35

謝謝瑋岳老師

作者: idontnow90 時間: 2013-1-30 16:33

板上有po下列兩題瑋岳老師的解法...但我還是不理解..能否請教..謝謝~
1.第12題:解法說...1+x表示會跑完一圈，以及得到在第一圈之後未來圈數的期望值。
但是這樣算是不就變成期望值=(會跑完一圈機率)*(得到在第一圈之後未來圈數的期望值)???
期望值怎麼會=機率*期望值??還請賜教~
2.第15題:請教為什麼這題可以轉換成著色問題阿??謝謝~

作者: weiye 時間: 2013-1-30 17:45 標題: 回復 29# idontnow90 的帖子

1.
　期望值=(會跑完第一圈機率)*(1+得到在第一圈之後未來圈數的期望值)+(會不跑完第一圈機率)*0

2.

　把移動的軌跡記錄下來～相鄰兩次一定不同符號。

　例如：\(O→D→B→D→A\)→\(?\)

　由 \(A\) 點跳出去，下一次一定會移到 \(O,B,C,D\) 其中一點，猶如相鄰塗異色，

　把 \(O,A,B,C,D\) 當作是五種顏色的名稱而已。

　由 \(O\) 出發，又回到 \(O\)，就像是第一格跟最後一個都是 \(O\) 這種顏色，

　兩個 \(O\) 連接起來就是環狀塗色問題而已。

作者: idontnow90 時間: 2013-1-30 23:51

那想請教一下如果最後不回到O..是否就無法用環狀著色來看了?就要用矩陣來解?THX~

作者: tsusy 時間: 2013-1-31 00:06 標題: 回復 31# idontnow90 的帖子

第 n 步不回 O 的，不就是隨意走減去回 O 的

或者改成第 n 步走到 A, 那就是不回 O 的情況除以 4

即使稍作其它變動，一樣是有對應的著色問題，只不過不一定知道該著色問題的解而已

作者: weiye 時間: 2013-4-15 08:39 標題: 回復 11# weiye 的帖子

第 12 題因為有幾位朋友還是看不太懂我前面寫的式子，我再換個方式描述多一下好了~

令 p=(1-1/9)(1-1/16) 表示某一圈可以跑完的機率

期望值= （第一圈跑不完的話，所得的圈數）*跑不完第一圈的機率＋（第一圈跑得完的話，所得的圈數）*跑得完第一圈的機率

　　　= 0*(1-p) + (1+x)(p)

因此， x = 0*(1-p) + (1+x)(p)，可解得 x。

或是還是不懂的話，那換一個另解好了~

期望值 E = 0*(1-p) + 1*p*(1-p) + 2*(p^2)(1-p)+......

上式左右同乘 p ，可得

E*p = 0*p*(1-p) + 1*p^2*(1-p) + 2*(p^3)(1-p)+......

兩式相減，可得

E*(1-p) = p*(1-p) + (p^2)(1-p) + (p^3)(1-p)+......

　　　　= (首項)/(1-公比)

　　　　= p(1-p)/(1-p)

→ E = p/(1-p) = 5

作者: kittyyaya 時間: 2013-12-18 22:13 標題: 回復 4# bugmens 的帖子

請問老師
填充14的教師會連結已失效
可以指導這題如何做嗎 ?
謝謝

作者: weiye 時間: 2013-12-19 08:35 標題: 回復 34# kittyyaya 的帖子

第 14 題：

設 \(n=2^a\cdot 3^b\cdot p_1^{c_1}\cdots p_r^{c_r}\)

其中 \(r\) 為正整數，\(a,b,c_1,\cdots,c_r\) 為非負整數，\(p_1\cdots p_r\) 為大於三的相異質數，

則，依題意可得

\(\left(a+2\right)\cdot\left(b+1\right)\cdot\left(c_1+1\right)\cdots\left(c_r+1\right)=28\)

\(\left(a+1\right)\cdot\left(b+2\right)\cdot\left(c_1+1\right)\cdots\left(c_r+1\right)=30\)

因為 \(28\) 與 \(30\) 的最大公因數為 \(2\)，所以 \(\left(c_1+1\right)\cdots\left(c_r+1\right)\) 只有可能是 \(2\) 或 \(1\)

case i: 若 \(\left(c_1+1\right)\cdots\left(c_r+1\right)=1\)

　　　　則 \(\left(a+2\right)\cdot\left(b+1\right)=7\cdot4\) 且 \(\left(a+1\right)\cdot\left(b+2\right)=6\cdot5\)

　　　　可得 \(6n\) 的正因數個數為 \(\left(a+2\right)\cdot\left(b+2\right)=7\cdot5=35\) 個

case ii: 若 \(\left(c_1+1\right)\cdots\left(c_r+1\right)=2\)

　　　　則 \(\left(a+2\right)\cdot\left(b+1\right)=14\) 且 \(\left(a+1\right)\cdot\left(b+2\right)=15\)

　　　　解得 \(a,b\) 非整數，不合。

由 i & ii，可知 \(6n\) 的正因數個數為 \(35\) 個。

作者: thepiano 時間: 2013-12-19 08:45

第 14 題
2n 的質因數分解中，2 的次方比 3n 的質因數分解多 1
2n 的質因數分解中，3 的次方比 3n 的質因數分解少 1

28 = 7 * 4
30 = 6 * 5
僅有以上這組符合

n = 2^5 * 3^3

作者: subway 時間: 2014-6-16 23:25 標題: 回復 19# weiye 的帖子

想請問~
我一直想不通
相鄰不同色~
這樣豈不是第一步跟第十步不一樣地方嗎? 怎麼踩的回去?

謝謝!!

作者: mandy 時間: 2015-3-17 15:11 標題: 請問第3題如何做?

引用:

原帖由 bugmens 於 2012-7-8 09:14 PM 發表
3.
滿足\( (m+n)^n=m^n+2012 \)之所有正整數數對\( (m,n) \)為

\( (m+n)^n=m^n+2320 \)，求所有可能的數對\( (m,n) \)為？
(100中壢高中，https://math.pro/db/thread-1119-1-1.html)

試求出所有正整數m、n，使\( (m+n)^n=m ...

作者: weiye 時間: 2015-3-17 16:42 標題: 回復 38# mandy 的帖子

圖片附件: received_10153162864133188.jpeg (2015-3-17 16:42, 38.95 KB) / 該附件被下載次數 6691
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2705&k=f84f4e96e4f751c1fcbc09249f7d6a65&t=1714500282

作者: tsusy 時間: 2015-3-18 22:24 標題: 回復 39# weiye 的帖子

第三題另解：\( 2012 = (m+n)^n - m^n \geq m^n +n^n -m^n = n^n \)

又 \( 4^5=1024, 5^5=3125 \)，所以 \( n \leq 4 \) ( \( n^n \) 在正整數中遞增)

\( n = 3,4 \) 的情況，可用立方差、平方差公式分解 \( (m+n)^n - m^n \) 而由 \( 3, 16 \) 非 2012 之因數，得 \( n = 3,4 \) 時 \( m \) 無整數解。

\( n = 1, 2 \)，同 weiye 老師，而得唯一解 \( (m,n) = (502,2) \)

討論了 4 個 n ，方法稍遜 weiye 老師一些。

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