想請教證明題1和2題(不是計算題哦)

證明 1. 利用對稱，及 \( \sum\limits _{k=0}^{2n}C_{k}^{2n} =2^{2n} \), 寫下所求化簡得

\(\displaystyle \frac{C_{n}^{2n}+\sum\limits _{k=n+1}^{2n}C_{k}^{2n}}{2^{n}}=\frac{C_{n}^{2n}+\sum\limits _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{2}(C_{2n-k}^{2n}+C_{k}^{2n})}{2^{2n}}=\frac{C_{n}^{2n}+\sum\limits _{k=0}^{2n}C_{k}^{2n}}{2^{2n+1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2n+1}}C_{n}^{2n} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-9 01:19 PM 編輯 ]

證明2
先將欲證之式整理一下
\(\displaystyle OB^2-OA^2=OA \cdot AD-OB \cdot BC+AB \cdot CD \)

\(\displaystyle OB(OB+BC)=OA(OA+AD)+AB \cdot CD \)

\(\displaystyle OB \cdot OC=OA \cdot OD+AB \cdot CD \)

作輔助線在 \( OD \) 的延長線上取 \( E \) 使得 \( \angle{DCE}=\angle{AOB} \)
那麼 \( \Delta AOB \sim \Delta DCE (AA) \)
\(\displaystyle \frac{OA}{CD}=\frac{AB}{DE} \)

\(\displaystyle AB \cdot CD=OA \cdot DE \)

又\( \Delta AOB \sim \Delta COE (AA) \)
\(\displaystyle \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OE} \)

\(\displaystyle OB \cdot OC=OA \cdot OE \)


於是
\(\displaystyle OB \cdot OC=OA \cdot (OD+DE)=OA \cdot OD+OA \cdot DE=OA \cdot OD+AB \cdot CD \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-6-9 04:54 PM 編輯 ]

請問填充9怎麼做?謝謝

填充 9. 化成極式，棣美佛

長度相等得 \( a=b \), 角度同位角，可差 \( 2n\pi \)

因此可解得無限多解 \( a = b =6n \), 其中 \( n \in Z \)

所以最小整數解為 \( a=b =6 \), 而 \( a+2b=18 \)

填充第3題土法練綱法

[ 本帖最後由 王保丹 於 2013-4-21 01:36 PM 編輯 ]

計算題1我算到目前，答案是1\5？

102.5.12版主補充
將縮小圖檔以節省論壇空間(902KB->207KB)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-5-12 01:01 PM 編輯 ]

An為遞增正數列,1/A1A2.................逼近於0
A(n+1)-A(n)=A1A2A3....An - A1A2A3.....A(n-1)
                   =A1A2A3---A(n-1){An -1}>0    A1=10
所以答案1/5

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2013-5-12 12:37 PM 編輯 ]

謝謝興傑老師的回覆

證明第一題

我算出來是 1/2 + (1/2)^(2n) * C(2n,n)

我的1/2只有開到2n次 沒開到2n+1次

我的想法是

P(至少n次正面)=P(恰好n次正面)+P(至少n+1次正面)
                                             ↓　　　　　　　↓　　
                           =             1/2          +  C(2n,n)*(1/2)^(2n)         

請問哪裡不對

小弟資質愚昧 感謝老師們指點迷津