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101中正預校

設a, b為二正整數,已知它們的最小公倍數為2^6 x3^2x11^2 x13 ,則這樣的正整數對(a, b)共有多少組
ANS:975組

這一題今天清水高中居然考出來了...有人可以分享嗎?  我的想法是錯滴><

我想法是a,b至少一個是2^6,另外一個可以2^(0~6)  :2x6=12種
               a,b至少一個是3^2,另外一個可以3^(0~2)  :2x3=6種
依此類推...但答案是錯了><

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(a,b)=(2^6,1) or (2^6,2^1) or (2^6,2^2) or (2^6,2^3) or (2^6,2^4) or (2^6,2^5) or (2^6,2^6)
         (1,2^6) or (2^1,2^6) or (2^2,2^6) or (2^3,2^6) or (2^4,2^6) or (2^5,2^6)
     
         注意兩個6次方的只算一次,其他的可以交換共13組
         公式可以看成 (次方的兩倍+1)組

[ 本帖最後由 basess8 於 2012-6-7 12:26 AM 編輯 ]

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想請教填充第13題,謝謝

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回復 23# 阿光 的帖子

填充第13題,前面已經解了。

其實最小公倍數那題前面也解了………==

多喝水。

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soory,最近忙著教師蒸屍,累到自己已有問過該題

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更正
soory,最近忙著教師蒸屍,累到自己"忘了"已有問過該題

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想再請教證明第2題,謝謝

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回復 27# 阿光 的帖子

計算 2.

若 \( n \) 正偶數,亦驗 \( 4^{n}+n^{4}>2 \) 且為偶數。故不為質數

注意 \( x^{4}+y^{4}=(x^{2}+\sqrt{2}xy+y^{2})(x^{2}-\sqrt{2}yx+y^{2}) \)

若 \( n \) 為正奇數,則有 \( 4^{n}+n^{4}=(\sqrt{2}^{n})^{4}+n^{4}=(2^{n}+n\cdot\sqrt{2}^{n+1}+n^{2})(2^{n}-n\cdot\sqrt{2}^{n+1}+n^{2}) \)

又 \( n \) 是正奇數,可得兩個括弧內皆為整數,而前者為正,相乘亦正,因此兩者皆正。

若其乘積為質數,其一必為 \(1 \)。

檢驗之可得僅當 \( n=1 \) 時, \( 2^{n}-n\cdot\sqrt{2}^{n+1}+n^{2}=1 \), \( 4^{1}+1^{4}=5 為質數 \)。

(可用單調性說明,無其它解。而單調性是容易驗的性質)

因此正整數 \( n \) 有唯一解 \( n=1\) 。
網頁方程式編輯 imatheq

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想請教第15題填充怎麼做,小弟微積分不是很好

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回復 29# shiauy 的帖子

填充第 15 題:

令 \(\displaystyle f(x)=\int_4^x \frac{1}{2+t^2}dt\Rightarrow f\,'(x)=\frac{1}{2+x^2}\)

則 \(y=-f(1+3x^2)\)

\(\displaystyle y\,'=-f\,'(1+3x^2)\cdot(1+3x^2)'=-\frac{1}{2+(1+3x^2)^2}\cdot(6x)=\frac{-2x}{1+2x^2+3x^4}\)

多喝水。

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