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101中正預校

瑋岳老師 謝謝您熱心的解答!!

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第8題我跟老師得到一樣的結果.....不知為何最後答案會是一個數字@@

第6題曾經看過類似題型是
r_n收斂  令原式為 X^2=5X/2 - X  得X=2與1/2

令r_n= a(2)^n+b(1/2)^n  很明顯當n趨近無限大時r_n不收斂,因此,a必為0

則r_n=b(1/2)^n  r_1=2003代入可得b=4006  即可求得r_2

不知道這樣想有沒有不完備

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請教一下  填充11、12、14 證明第二題

若是之前有考過,也麻煩一下,謝謝。

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回復 13# peter579 的帖子

填充第 11 題:設袋中有 \(4\) 個紅球, \(6\) 個黑球,今自袋中隨機一次取一個球出來,共取 \(3\) 次,取法分別為 (i) 取後放回, (ii) 取後不放回;兩種情形, (i) 及 (ii) ,分別取到紅球個數的期望值為 \(a\) 及 \(b\) ,求 \(a + b =\) ______________.


解答:
\(\displaystyle a=b=3\cdot\frac{4}{4+6}=\frac{6}{5}\)

或是也可以寫

\(\displaystyle a=3\cdot C^3_3\left(\frac{4}{10}\right)^3+2\cdot C^3_2\left(\frac{4}{10}\right)^2\left(\frac{6}{10}\right)+1\cdot C^3_1\left(\frac{4}{10}\right)\left(\frac{6}{10}\right)^2+0\cdot C^3_0\left(\frac{6}{10}\right)^3=\frac{6}{5}\)

\(\displaystyle b=3\cdot\frac{C^3_3 4\cdot3\cdot2}{10\cdot9\cdot8}+2\cdot\frac{C^3_2 4\cdot3\cdot6}{10\cdot9\cdot8}+1\cdot\frac{C^3_1 4\cdot6\cdot5}{10\cdot9\cdot8}+0\cdot\frac{C^3_0 6\cdot5\cdot4}{10\cdot9\cdot8}=\frac{6}{5}\)



\(\displaystyle \Rightarrow a+b=\frac{6}{5}+\frac{6}{5}=\frac{12}{5}\)

多喝水。

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回復 13# peter579 的帖子

填充第 12 題:設 \(x,y,z\) 均為實數,且滿足 \(x^2+y^2+z^2=2(2y-x-3z)\),求 \(2x-4y+6z+38\) 的最大值及最小值之和為_________________.

解答:

\(x^2+y^2+z^2=2(2y-x-3z)\)

\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=14\)

由柯西不等式,可得

\(\left((x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2\right)\left(1^2+\left(-2\right)^2+3^2\right)\geq \left((x+1)-2(y-2)+3(z+3)\right)^2\)

\(\Leftrightarrow 14^2\geq \left(x-2y+3z+14\right)^2\)

\(\Leftrightarrow -14\leq x-2y+3z+14\leq14\)

\(\Leftrightarrow -28\leq x-2y+3z\leq0\)

\(\Leftrightarrow -56\leq 2x-4y+6z\leq0\)

\(\Leftrightarrow -18\leq 2x-4y+6z+38\leq38\)

得 \(2x-4y+6z+38\) 的最大值與最小值分別為 \(38\) 與 \(-18\)

所求=\(38+(-18)=20\)

多喝水。

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回復 13# peter579 的帖子

填充第 14 題:設 \(a, b\) 為二正整數,已知它們的最小公倍數為 \(2^6\times3^2\times11^2\times13\),則這樣的正整數對 \((a, b)\) 共有多少組?_____________.

解答:

先來討論一下 \(a\) 與 \(b\) 當中 \(2\) 這個質因數分配得情況好了~

因為最小公倍數有恰含有 \(2^6\),

所以 \(a\) 與 \(b\) 至少有一個質因數分解之後恰含有 \(2^6\)

  另一個寫成標準分解式之後可能有 \(2^0,2^1,2^2,\cdots,2^6\)

因此,\(a\) 與 \(b\) 當中 \(2\) 的因數分配情況可能有 \(2\cdot7-1\) 種。

(扣掉的那個是重複計算的,也就是 \(a\) 與 \(b\) 剛好都恰含有 \(2^6\) 的因數~被重複計算的次數)



其它同理,

因此,可得所求為 \((2\cdot7-1)(2\cdot3-1)(2\cdot3-1)(2\cdot2-1)=975\) 種。

多喝水。

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想請教填充第13題,謝謝

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回復 17# 阿光 的帖子

填充第 13 題:

先來研究一下規律好了~

想像有一排燈按照 \(a_na_{n-1}a_{n-2}a_{n-3}\cdots a_3a_2a_1\) 排列~

對照到剛剛那串排列順序~有出現 \(a_k\) 則 \(a_k\) 位置亮燈(寫成 \(1\)),

沒出現 \(a_k\) 則 \(a_k\) 位置不亮燈(寫成 \(0\)),

第一個位置對應到 → \(0000000\cdots00000\)

第二個位置對應到 → \(0000000\cdots00001\)

第三個位置對應到 → \(0000000\cdots00010\)

第四個位置對應到 → \(0000000\cdots00011\)

第五個位置對應到 → \(0000000\cdots00100\)

第六個位置對應到 → \(0000000\cdots00101\)

第七個位置對應到 → \(0000000\cdots00110\)

第八個位置對應到 → \(0000000\cdots00111\)

           \(\cdots\cdots\cdots\)

看出來了嗎? 第 \(k\) 個位置對應到的就是 \(k-1\) 的二進位數值

因為 \(155=128+16+8+2+1=2^7+2^4+2^3+2^1+2^0\)

所以要亮燈的分別是 \(a_8, a_5, a_4, a_2, a_1\)

因此,排在第 \(156\) 位置的是 \(a_1a_2a_4a_5a_8.\)

多喝水。

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回復 18# weiye 的帖子

0 [a1] [ a2  a12]  [a3  a13  a23  a123]  [a4  a14  a24  a34  a134 a234  a1234]  [a5  a15  a25....] ....
                                                                     ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
以4為例, 每個都會有4 , 前面就1,2,3亂取  共2^3=8種  依序為:沒取,1 ,2,3 ,12,13,23,123
若依此規律  似乎也滿足題意  但答案就@#$%

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其實昨天我看到這題的想法也跟你差不多,不過我是解讀成~~

\(I\) 當作是乘法單位元素,

然後每一群的元素就是把前面的每個元素從右邊乘上新增加的元素

I
^-------接下來要增加的是把前面的元素,由右邊乘上 a1,也就是增加 a1

I, [a1]
^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素,由右邊乘上 a2,也就是增加 a2,a12

I, [a1], [a2, a12]
^^^^^^^^^^^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素,由右邊乘上 a3,也就是增加 a3, a13, a23, a123

I, [a1], [a2, a12], [a3, a13, a23, a123]
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素,由右邊乘上 a4,也就是增加 a4, a14, a24, a124, a34, a134, a234, a1234

I, [a1], [a2, a12], [a3, a13, a23, a123], [a4, a14, a24, a124, a34, a134, a234, a1234], .........

不過後來想想,上面這個規律與二進位是相同的,所以就用二進位來處理比較方便。

不過如果每群新增加的元素排列的規律,如 tuhunger 老師所提的,或許也有可能~

畢竟題目是用"以此類推"四個字,每個人找到的規律的確有可能不同,

而數列,除非題目有詳細說明規律,不然若純以條列的方式,的確下一個元素是誰都可以。

:)

多喝水。

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