引用:

原帖由 weiye 於 2012-6-5 11:47 PM 發表
填充第 5 題相關題目與資料～

利用本站右上角的 Google 自訂搜尋框～

搜尋「三條平行線　正三角形」就可以找到了～：）

https://math.pro/db/thread-890-1-1.html






填充第 5 題：

如上圖，設 \(\overline{BD}=\) ...

分享我考場中，想到的方法。

填充題
一個長軸為12的橢圓，F為其中一個焦點，則PQ為通過F的焦弦,PF=5,FQ=3  ,則請問正焦弦長為


這一題有沒有題示一下方向，要用到光學性質嗎，謝謝

PF+PF'=12
PF'=7
QF+QF'=12
QF'=9

PO是中線，QO也是中線，但接下來，就不知如何寫了。

填充 6. 接續你的作法

\( \angle F'FP + \angle F'FQ = 180^\circ \), 所以其餘弦和為 \( 0 \)

\(\displaystyle \frac{4c^{2}+25-49}{20c}+\frac{4c^{2}+9-81}{12c}=0 \), 解得 \(\displaystyle c^2 = \frac{27}{2} \)

因此正焦弦長 \(\displaystyle =\frac{2b^{2}}{a}=\frac{2}{6}\cdot(36-\frac{27}{2})=\frac{15}{2} \)

另解. 考慮 F 兩邊的準線 L, 離心率 \(\displaystyle e = \frac{a}{c} \)

則有 \(\displaystyle d(F,L)=\frac{2}{\frac{1}{d(P,L)}+\frac{1}{d(Q,L)}} \)  和 \( d(P,L) = 3e,\, d(Q,L)=5e,\, d(F,L)=ea-c \)

將上行以 \( a=6 \) 和 \( c \) 代入得方程式 \(\displaystyle \frac{36}{c}-c=\frac{6}{c}\cdot\frac{30}{8} \)

解得 \(\displaystyle c^2 = \frac{27}{2} \)

註：調和平均之性質可見於 100 中壢高中二招 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1170&page=1#pid3902

謝謝，方寸老師，參考link，發現有不少，對橢圓還要學習的。

不過，這一題用方法一比較好用。填充4可否點一下。

有點想不出來。謝謝

填充第 4 題在本討論串已經解過了。

填充第 4 題 → https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1381&page=2#pid6001

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2012-6-10 01:38

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-6-8 01:47 PM 發表
填充 6. 接續你的作法

\( \angle F'FP + \angle F'FQ = 180^\circ \), 所以其餘弦和為 \( 0 \)

\( \frac{4c^{2}+25-49}{20c}+\frac{4c^{2}+9-81}{12c}=0 \), 解得 \( c^2 = \frac{27}{2} \)

因此正焦弦長  ...

想到一個作法

不知道如何破題
謝謝賜教
感恩

@@..可以細問一下第4題...為何是A'B"的距離嗎??...轉不過來>"<

引用:

原帖由 weiye 於 2012-6-2 06:30 PM 發表
填充第 4 題：

將 \(A\) 對稱 \(\overline{BC}\) 得 \(A'\)；將 \(B\) 對稱 \(\overline{AC}\) 得 \(B'\)，則 \(\overline{A'B'}\) 長度即為所求。

ps. 可以坐標化，也可以找出 \(\overline{AA'}\) 與 \(\overline{AB'}\)  ...

引用:

原帖由 natureling 於 2012-11-16 10:28 PM 發表
@@..可以細問一下第4題...為何是A'B"的距離嗎??...轉不過來>"<

設質點由 \(A\) 射出後，打到 \(\overline{BC}\) 上的點 \(P\)，

經反射後又打到 \(\overline{AC}\) 上的點 \(Q\)，經反射後～回到 \(B\) 點。

則 \(\overline{AP}+\overline{PQ}+\overline{QB}=\overline{A'P}+\overline{PQ}+\overline{QB'}\geq\overline{A'B'}\)

（Think: 由 \(A'\) 到 \(B'\) ，此兩點之間的最短距離為 \(\overline{A'B'}。\)）

填充第 1 題，可以參考

101 大安高工第 3 題： https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1468&page=2#pid7159

100香山高中第 12 題： https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1186&page=4#pid4692

或是參考《空間中球與圓的最短距離》 https://math.pro/db/thread-665-1-1.html