填充題 5. 平面上由上而下依序劃三條相異的平行線 L₁，L₂，L₃，其中 L₁ 與 L₂，L₂ 與 L₃ 的距離分別為 d₁，d₂。若在三條直線上各取一點，使它們構成一個正三角形，則此正三角形的邊長為何?


想法: 這題的尺規作圖法為: 將 L₁ 繞 L₂ 的某點 A 旋轉 60° 後，與 L₃ 交於 C，則 AC 為該正三角形的一邊。由此可構思出一個求邊長之法。


圖形請參考

101竹北高中.png (5.59 KB)

2016-9-16 07:52

h ttp://imgur.com/a/BzSRh


如圖，L₂ 上一點 A 在 L₁，L₃ 的垂足分別為 D, E。將 D 與 L₁ 繞 A 旋轉 60° (則 D → D'，L₁ → L₁')， L₁' 與 L₃ 交於 C。則 AC = x 即為所求。

因 A, D', C, E 共圓，故 x = D'E/sin120° = 2√ [(d₁² + d₂² + d₁d₂)/3]  (配合 △AD'E 中的餘弦定理)


本題另一個代數作法: 由聯立方程 x*cosθ = d₁ 與 x*cos(120°- θ) = d₂，解出 x 即可。

\(a,b\in \mathbb{R}\),\(f(x)=x^3-x^2+ax+b\)。若方程式\(f(x)=0\)在閉區間\([-2-1],[-1,1],[1,2]\)的範圍內各有一實根，求\(\displaystyle \int_{0}^{1}f(x) dx\)的最大最小值

這一題有算出答案 但不確定是否誤打誤撞得到正確答案 還請先進們指教

設\(\alpha \in[-2-1] ,\beta \in [-1,1] , \gamma \in [1,2]\)

因為三根和為1，所以\(1 \leq \gamma=1-\alpha - \beta \leq 2   \rightarrow  -1\leq \alpha+ \beta \leq 0 \)
配合\(-2 \leq \alpha \leq -1, -1\leq \beta \leq 1\),可以劃出其可行解範圍為一個頂點為\((-1,1),(-2,1),(-1,0)\)的三角形

因為所求並非平方相加,分式這種需要由圖形判斷的東西
可以直接由頂點法得到所求
若\((\alpha,\beta,\gamma)=(-1,1,1)\) , \(a=-1,b=1\)
若\((\alpha,\beta,\gamma)=(-2,1,2)\) , \(a=-4,b=4\)
若\((\alpha,\beta,\gamma)=(-1,0,2)\) , \(a=-2,b=0\)

分別代入所求\(\displaystyle \frac{1}{2}a+b-\frac{1}{12}\)
若\(a=-1,b=1\),所求為\(\displaystyle \frac{5}{12}\)
若\(a=-4,b=4\),所求為\(\displaystyle\frac{23}{12}\)  
若\(a=-2,b=0\),所求為\(\displaystyle\frac{-13}{12}\)

可得最大值為\(\displaystyle\frac{23}{12}\)  ，最小值為\(\displaystyle\frac{-13}{12}\)

a/2 + b 用 α、β 來表示，並非線性的
所以這樣做，答案會對，應該只是湊巧

謝謝鋼琴老師的指教