計算題第 4 題第一小題

\(y=x^2-m\) 帶入橢圓方程式

可得 \(\displaystyle \frac{x^2}{3}+\frac{(x^2-m)^2}{9}=0\)

\(\Rightarrow x^4+(3-2m)x^2+(m^2-9)=0\)

令 \(t=x^2\)，則

\(t^2+(3-2m)t+(m^2-9)=0\) 有兩相異正根（如此，\(x\) 才會有四個實根）

因此，兩根之和\(=-(2m-3)>0\)，兩根之積\(=m^2-9>0\)，判別式＞０，

可解得 \(m\) 的範圍為 \(\displaystyle 3<m<\frac{15}{4}.\)

\(y=\left|\log_2 x\right|,\, y=\left|\log_3 x\right|,\, y=x,\, y=x^2 \)  四個函數圖形是全部畫在一起啦，

不要分開畫圖~~這樣才能比較交點與交點的相對位置呀！

我剛剛在之前的回覆補上四個畫在一起的函數圖形了，你可以參考看看。：）

填充第三題，

觀察後面那個三元一次聯立方程式的增廣矩陣，

可以發現第一列加第二列剛好等於第三列，

可以看的出來那是「直線的兩面式」，

所以本題是「空間中，求點到直線的距離」的題目，

可以先把兩面式化成參數式（寫成動點 \(Q\)），

然後寫出 \(\overline{PQ}\) ～再配方，即可求得定點 \(P\) 到動點 \(Q\) 的最短距離。

填充第 10 題：

題目：設有 \(3\) 位男生， \(8\) 位女生圍一圓桌而坐，若任 \(2\) 位男生之間至少有 \(2\) 位女生，則共有_____種坐法。

99台中二中教甄有考過，以下的過程說明請見 https://math.pro/db/thread-934-3-2.html

答案：\(\displaystyle \frac{3!}{3}\times H^3_{8-2\times 3}\times 8!=483840\)

填充第 5 題：

題目： \(9\) 粒種子分種在 \(3\) 個坑內，每坑 \(3\) 粒，每粒種子發芽的機率為 \(0.5\) 且發芽與否互不影響。若一個坑內至少有 \(1\)  粒種子發芽，則這個坑不需要補種；若一個坑內的種子都沒發芽，則這個坑需要補種。假定每個坑至多補種一次，補種 \(k\) 個坑所需費用為 \((20k^2 +10k )\) 元，則補種費用的期望值為______元

解答：

任一坑需要補種的機率為 \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\)

任一坑不需要補種的機率為 \(\displaystyle 1-\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{7}{8}\)



所求期望值＝\(\displaystyle C^3_0\left(\frac{7}{8}\right)^3\times 0+C^3_1\left(\frac{7}{8}\right)^2\left(\frac{1}{8}\right)\times(20\times1^2+10\times1)\)

　　　　　　　\(\displaystyle+C^3_2\left(\frac{7}{8}\right)\left(\frac{1}{8}\right)^2\times(20\times2^2+10\times2)+C^3_3\left(\frac{1}{8}\right)^3\times(20\times3^2+10\times3)\)

　　　　　\(\displaystyle=\frac{105}{8}\)

因為 \(1<x<4\)，所以 \(\displaystyle y=\frac{-6}{(x-1)(x-4)}\) 恆正，

因此若橫軸為 \(x\)，縱軸畫 \(f(x)\) ，

可得 \( \displaystyle f(x)=y(x-\frac{5}{2})^2-\frac{9}{4} y+6 \) 圖形為開口向上的拋物線（雖然我們只取 \(1<x<4\) 這一段 ），





因為 \( f(1)=f(4)=6>0 \)

所以，只要此拋物線頂點的縱坐標\( \displaystyle -\frac{9}{4} y+6 \le 0 \) 就可以保證 \(x\) 在 \(1\) 到 \(4\) 之間有實根。