今日練習這份試題，來補一下心臟線這題

填充 6. 以極坐標寫之可得 \( r=6(1+\cos\theta) \)

以原點、曲線上一點和 \( (8,0) \) 為三角形，利用餘弦定理可計算曲線上的點到 \( (8,0) \) 之距離平方

\( \begin{aligned}d(\theta)^{2} & =36(1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta)+64-96(\cos\theta+\cos^{2}\theta)\\
& =100-24\cos\theta-60\cos^{2}\theta\\
& =-60(\cos^{2}\theta+\frac{2}{5}\cos\theta+\frac{1}{25})+100+\frac{60}{25}\\
& =-60(\cos\theta+\frac{1}{5})^{2}+\frac{512}{5}.\end{aligned}
\)

所以 \( 16\leq d^{2}\leq\frac{512}{5} \)，且在 \( [-1,-\frac{1}{5}] \) 和 \( [-\frac{1}{5},1] \) 皆為單調函數。

\( d(-1)=8 \), \( d(-\frac{1}{5})=\frac{32}{\sqrt{10}}<11 \), \( d(1)=4\)。

從單調性就可數出距離 5-10, 10-9 上下對稱各兩點，及距離 4, 8 x 軸上各一點

因此共 \( 8\times2+2=18 \) 個交點。

Taylor series 都出現了，那小弟再來補牛頓法好了

填 9. 令 \( x=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7} \)，則 \( x+\frac{1}{x}=2\cos\frac{2\pi}{7} \) 且 \( x^{6}+x^{5}+x^{3}+x^{2}+x+1=0 \)。

令 \( y=x+\frac{1}{x} \)，則 \( y^{3}+y^{2}-2y-1=0 \)。令 \( f(y)=y^{3}+y^{2}-2y-1 \)。

以牛頓法解之：取 \( y_{1}=1 \), \( 1-\frac{f(1)}{f'(1)}=\frac{4}{3} \)，取 \( y_{2}=\frac43 \)；\( y_{2}-\frac{f(y_{2})}{f'(y_{2})}=\frac{4}{3}-\frac{13}{162}\approx1.25 \)，取 \( y_{3}=1.25 \)；\( y_{3}-\frac{f(y_{3})}{f'(y_{3})}=\frac{5}{4}-\frac{1}{332}\approx1.246 \)。

\( f(1.24)\approx-0.04 \), \( f(1.25)\approx0.02\)。由勘根定理知有一實根在 (1.24,1.25)

注意該方程式有三根：\( 2\cos\frac{2\pi}{7}, 2\cos\frac{4\pi}{7}, 2\cos\frac{6\pi}{7} \)，其中僅 \( 2\cos\frac{2\pi}{7} \) 為正根。故 \( n =124 \)

方法上，基本上和 7# 的牛頓法精神一樣，一個用牛頓加勘根，一個用二分加勘根。

另外挑個小瑕疵，所以知道 \( 1 < 2\cos \frac{2\pi}{7} <2 \)，但上面的式子，並沒有論證到它是這個範圍裡的唯一實根。

同意，好的帖子是讓讀者看完會有體會的！但，要怎麼樣讀者才會有所體會？

是鉅細靡遺的詳解、撬開門鎖的那把鑰匙，或隱藏背後的原始思考？

或許沒有標準答案，對每位讀者，需要的可能都是不同的吧！？

題外話：泰勒級數的解似乎不見！？

第二題，合並兩個分數項
\(\displaystyle \frac{n+2}{2^n} = \frac{1}{2^{10}} + \) 整數
檢查 \( n=1,2 \) 不合，而 \( n\geq 3 \) 時，\(\displaystyle \frac{n+2}{2^n}<1 \)
故 \(\displaystyle \frac{n+2}{2^n} = \frac{1}{2^{10}} \Rightarrow n+2 = 2^{n-10} \)

\( n+2 \) 需為 \( 2^k \) 之形式，且 \( n\geq 10 \)

故可能之 n 有 \( 14,30,62,\ldots \)，再檢查發現只有 \( n=14 \) 成立，其它 \( 2^{n-10} \) 大於 \( n+2 \)

平常在使用勘根定理時，只能保證有根，不能知道範圍中有幾個根

但若在該區域裡函數有單調性(嚴格遞增或嚴格遞減)，搭配勘根，就能確定每次只勘到一個根