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99 屏北高中

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99 屏北高中

屏北高中也公佈題目了,

不過似乎是用直接掃描的,原始檔案有點大,

所以小弟又把它重新打過,

如有打錯字或數據打錯的話,希望網友能不吝告知,感謝。

另外,想看該校提供的原始題目的話,

可見 《點我》

附件

99ppsh.pdf (192.63 KB)

2011-5-19 21:13, 下載次數: 4615

99ppsh(LaTeX_source).rar (2.65 KB)

2011-5-19 21:13, 下載次數: 3916

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引用:
原帖由 may 於 2010-5-12 09:36 PM 發表
請教你提到費馬點的問題該怎麼解呢?謝謝。
設 \( x,y,z \)為正實數,\( \displaystyle \left\{\ \matrix{9=x^2+y^2+xy \cr 16=y^2+z^2+yz \cr 25=z^2+x^2+zx }\right. \),求\( x+y+z= \)?

解答:

\( \displaystyle \left\{\ \matrix{3^2=x^2+y^2-2xy\cos120^\circ \cr 4^2=y^2+z^2-2yz\cos120^\circ \cr 5^2=z^2+x^2-2zx\cos120^\circ }\right. \)

令 \(\triangle ABC\) 滿足 \(AB=4, AC=3, BC=5\),

且 \(P\) 為 \(\triangle ABC\) 內部一點,滿足 \(PC=x, PA=y, PB=z, ∠ APB=∠ BPC=∠ CPA=120^\circ\),

題目要求 \(x+y+z=PC+PA+PB.\)

將 \(\triangle CAP\) 以 \(A\) 點為中心,往外旋轉 \(60^\circ\) 得 \(\triangle DAQ\),

則 \(CP=DQ, ∠ DQA=120^\circ\)。

在 \(\triangle APQ\) 中,因為 \(AP=AQ\) 且 \(∠ PAQ=60^\circ\),

得 \(\triangle PAQ\) 為正三角形,且 \(PQ=PA=y\) 且 \(∠ PQA=∠ QPA=60^\circ.\)

故,\(D,Q,P,B\) 四點共線,且 \(DB=DQ+QP+PB=PC+PA+PB=x+y+z.\)

利用畢氏定理,可得

\(DB=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}+4\right)^2}=\sqrt{25+12\sqrt{3}}.\)

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第 7 題

若 \(m\in\mathbb{N}\),求 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2\left(\frac{m}{n} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} - \cdots  - \frac{1}{n+m}\right)=?\)


解答:

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2\left(\frac{m}{n} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} - \cdots  - \frac{1}{n+m}\right)\)

\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty} n\left(m - \frac{n}{n+1} - \frac{n}{n+2} - \cdots  - \frac{n}{n+m}\right)\)

\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty} n\left\{ \left(1- \frac{n}{n+1}\right) +\left(1-\frac{n}{n+2}\right)+\cdots +\left(1 - \frac{n}{n+m}\right)\right\}\)

\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty} n\left( \frac{1}{n+1} +\frac{2}{n+2}+\cdots +\frac{m}{n+m}\right)\)

\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty} \left( \frac{n}{n+1} +\frac{2n}{n+2}+\cdots +\frac{mn}{n+m}\right)\)

\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{1+\frac{1}{n}} +\frac{2}{1+\frac{2}{n}}+\cdots +\frac{m}{1+\frac{m}{n}}\right)\)

\(\displaystyle =\frac{1}{1+0} +\frac{2}{1+0}+\cdots +\frac{m}{1+0}\)

\(\displaystyle =1+2+\cdots+m=\frac{m\left(m+1\right)}{2}.\)






第 9 題:

若投擲 \(n\) 顆公正的骰子,有偶數顆為 \(1\) 點的機率是 \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(a+b^n\right)\),求 \(\left(a,b\right)=?\)

解答:

設擲 \(n\) 顆公正的骰子,有偶數顆為 \(1\) 點的機率是 \(P(n)\),則有奇數顆是 \(1\) 的機率為 \(1-P(n).\)

先找出遞迴關係,

\(\displaystyle P(1)=\frac{5}{6}\) ,且當 \(\displaystyle n\geq2\) 時,\(\displaystyle P(n)=\frac{1}{6}\left(1-P(n-1)\right)+\frac{5}{6}P(n-1)\)

                \(\displaystyle \Rightarrow P(n)=\frac{1}{6}+\frac{2}{3}P(n-1)\)

先調整成形如 \(\displaystyle \left(P(n)+k\right)=\lambda\left(P(n-1)+k\right)\) 的形式,

\(\displaystyle P(n)-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(P(n-1)-\frac{1}{2}\right)\)

所以,

   \(\displaystyle P(n)-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(P(n-1)-\frac{1}{2}\right)\)

   \(\displaystyle P(n-1)-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(P(n-2)-\frac{1}{2}\right)\)

      \(\displaystyle \vdots\)

   \(\displaystyle P(2)-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(P(1)-\frac{1}{2}\right)\)

將上式乘起來,可得

\(\displaystyle P(n)-\frac{1}{2}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\left(P(1)-\frac{1}{2}\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow P(n)=\frac{1}{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{2}\right)\)

    \(\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\)

    \(\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\)

    \(\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\right).\)

類似題目:

1. https://math.pro/db/thread-408-1-1.html

2. https://math.pro/db/thread-626-1-1.html

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99 國立屏北高中教師甄試試題

第 2 題:

假設一個 \(5\) 次整係數多項式 \(g(x)\) 的根全為整數,試問共有多少組可能的根使得 \(g(x)\) 可以表成 \(g\left(x\right)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+6\),其中 \(a,b,c,d\) 為整數.


解答:

由牛頓有理根定理(多項式的整係數一次因式檢驗法),

可知 \(g(x)=0\) 的整數根只有可能為 \(\pm1, \pm2, \pm3,\pm6\)

且因為五根之積為 \(-6\),

所以,

case i: 有兩根為 〝\(2,3\)〞 或 〝\(-2,-3\)〞時,

    只能搭配另外三根為 〝\(1,1,-1\)〞 或  〝\(-1,-1,-1\)〞 ,

   有 \(2\times2=4\) 組.


case ii: 有兩根為 〝\(-2,3\)〞 或 〝\(2,-3\)〞時,

    只能搭配另外三根為 〝\(1,1,1\)〞 或 〝\(1,-1,-1\)〞 ,

   有 \(2\times2=4\) 組.

case iii: 有一根為 \(-6\) 時,

    只能搭配另外四根為 〝\(1,1,1,1\)〞 或  〝\(-1,-1,1,1\)〞 或  〝\(-1,-1,-1,-1\)〞,

   有 \(1\times3=3\) 組.


case iv: 有一根為 \(6\) 時,

    只能搭配另外四根為 〝\(-1,1,1,1\)〞 或  〝\(-1,-1,-1,1\)〞,

   有 \(1\times2=2\) 組.

所以,共有 \(4+4+3+2=13\) 組.

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引用:
原帖由 mandy 於 2010-5-27 09:06 PM 發表
請問為什麼第9題的P(1)=5/6 ?  ..........一顆骰子有偶數顆為1點的機率不是0嗎?
丟一顆骰子,可能出現的點數有 \(1,2,3,4,5,6\)

如果出現的點數是 \(1\),則有一顆(奇數顆)\(1\) 點.

如果出現的點數是 \(2,3,4,5,6\),則有零顆(偶數顆)\(1\) 點.

所以,丟一顆骰子時,出現有偶數顆 \(1\) 點的機率是 \(\displaystyle\frac{5}{6}.\)

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計算證明題:試求函數 \(f(x,y)=x+y^2\) 在單位圓 \(\displaystyle\left\{(x,y)\Big|x^2+y^2=1\right\}\) 上的極值,並找出發生極值的點。

解一、

\(\displaystyle f(x,y)=x+y^2=x+\left(1-x^2\right)=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\leq\frac{5}{4}\)

因為 \(y^2=1-x^2\geq0\Rightarrow -1\leq x\leq1\),

所以,

當 \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) 時,\(f(x,y)\) 有最大值為 \(\displaystyle\frac{5}{4}\),此時 \(\displaystyle(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{\pm\sqrt{3}}{2})\)。

當 \(\displaystyle x=-1\) 時,\(f(x,y)\) 有最小值為 \(-1\),此時 \((x,y)=(-1,0)\)。




解二、

令 \((x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)\),其中 \(0 \leq\theta<2\pi\),

則 .......(後半段跟"解一"差不多,表示成 \(\cos\theta\) 的一元二次方程式,再配方求極值。)



解三、

令 \(g(x,y,k)=x+y^2+k\left(x^2+y^2-1\right)\),

解聯立方程式 \(\displaystyle\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial k}=0\),

可得 \(\displaystyle(x,y,k)=\left(-1,0,\frac{1}{2}\right),\left(1,0,\frac{-1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},-1\right),\left(\frac{1}{2},\frac{-\sqrt{3}}{2},-1\right)\)

可得極值 \(f(-1,0)=-1\),\(f(1,0)=1\),\(\displaystyle f(\frac{1}{2},\frac{\pm\sqrt{3}}{2})=\frac{5}{4}\)。







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國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選(清華原住民教育實驗專班)
第 2 題:有一線段長 \(15\),以此線段做一正三角形、一正方形和一圓,請問三者面積和的最小值為何.

解答:

設正三角形邊長為 \(a\)、正方形邊長為 \(b\)、圓的半徑為 \(c\),

則 \(3a+4b+2\pi c=15\),

題目所求三者的面積為 \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}a^2}{4}+b^2+\pi c^2\),

由科西不等式可得

  \(\displaystyle \left(\left(\frac{6}{\sqrt[4]{3}}\right)^2+\left(4\right)^2+\left(2\sqrt{\pi}\right)^2\right)\left(\left(\frac{\sqrt[4]{3} a}{2}\right)^2+\left(b\right)^2+\left(\sqrt{\pi} c\right)^2\right)\geq\left(3a+4b+2\pi c\right)^2\)

\(\displaystyle\Rightarrow \mbox{三者面積和}\geq\frac{225}{12\sqrt{3}+16+4\pi}\)

且當等號成立時,若且唯若 .....((這一段不寫了啦~~應該可以自己檢查等號是有可能成立的!感謝~:P))

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2011-3-24 12:02 AM 發表
這題若出x,y,z為實數,解題過程就很麻煩了
且x+y+z的值會有四組解...
還蠻有趣的,不限定要"正實數"的話,

用 WolframAlpha 解出來 \(x+y+z=\pm\sqrt{25+12\sqrt{3}}\) 或 \(\pm\sqrt{25-12\sqrt{3}}\)

(也就是 \(x+y+z\) 的四個可能值剛好會是 \(t^4-50t^2+193=0\) 的四個根。)

WolframAlpha:這裡

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國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選(清華原住民教育實驗專班)
第 4 題:若地球方程式為 \(x^2+y^2+z^2=100\),且北緯 \(\theta\) 所在的平面方程式為 \(x+2y-2z=6\),請問南緯 \(3\theta\) 所在的平面為何?


解答:

地球半徑 \(=10\),

  球心到北緯 \(\theta\) 所在平面的距離\(\displaystyle=10\sin\theta=\frac{\left|0+2\cdot0-2\cdot0-6\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}}\Rightarrow \sin\theta=\frac{1}{5}\)

  \(\displaystyle\Rightarrow\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta=\frac{71}{125}\)

球心到南緯 \(3\theta\) 所在平面的距離 \(\displaystyle=10\sin3\theta=\frac{142}{25}\)

令所求平面方程式為 \(x+2y-2z=k\),則

                 \(\displaystyle\frac{142}{25}=\frac{\left|0+2\cdot0-2\cdot0-k\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}}\)

                 \(\displaystyle k=\pm\frac{426}{25}\)

所得兩平面方程式 \(\displaystyle x+2y-2z=\pm\frac{426}{25}\) 為南緯及北緯\(3\theta\) 所在的平面,

其中距離 \(x+2y-2z=6\) 比較遠的平面是 \(\displaystyle x+2y-2z=-\frac{426}{25}\),

所以,南緯 \(3\theta\) 所在的平面方程式為\(\displaystyle x+2y-2z=-\frac{426}{25}\)。

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國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選(清華原住民教育實驗專班)

第 6 題:已知等腰三角形,若腰上的中線長為 \(6\),求三角形面積的最大值為何?



解答:


設底邊長為 \(2a\),與底邊垂直之高長為 \(b\),


則腰長為 \(\sqrt{a^2+b^2}\),


由三角形的中線定理,可得 \(\displaystyle \left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2+(2a)^2=2\left(\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\right)^2+6^2\right)\),


整理可得 \(9a^2+b^2=144\)(或是,如下圖,套用畢氏定理亦可得此式,感謝 bugmens 提供此想法。)




由算幾不等式,可得 \(\displaystyle \frac{9a^2+b^2}{2}\geq\sqrt{9a^2\cdot b^2}\Leftrightarrow 72\geq 3ab\Leftrightarrow 24\geq \frac{2a\cdot b}{2}\)


所以,此三角的最大面積為 \(24\)。(此時,\(a=2\sqrt{2}\),\(b=6\sqrt{2}\)。)

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